Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня

Задача 9.1.1: Свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях называется…

1) жесткостью; 2) твердостью; 3) упругостью; 4) устойчивостью.

Задача 9.1.2: Критическая сила сжатого стержня – …

1) наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой напряжения достигают допускаемой величины;

2) наименьшее значение осевой сжимающей силы, способной удержать стержень в изогнутом состоянии;

3) значение осевой сжимающей силы, превышение которой вызывает отклонение от закона Гука;

4) величина осевой сжимающей силы, при которой происходит существенный рост деформаций без заметного увеличения самой силы;

Задача 9.1.3: Стержень круглого сечения диаметром  нагружен внешней силой . Модуль упругости материала , длина . Значение критического напряжения равно… (При расчете принять )

1) 12,5 МПа; 2) 50 МПа; 3) 200 МПа; 4) 25 МПа.

Задача 9.1.4: На рисунках показаны схемы нагружения стержня силой F. Стержень может потерять устойчивость на рисунке …

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Потеря устойчивости – это переход от одной формы равновесия к другой. При изгибе балки этого не происходит. Сила F растет, а форма упругой линии балки остается неизменной.

2) Ответ верный. Потеря устойчивости – это переход от одной формы равновесия к другой. Это возможно только для случая на рисунке 2, если сила F превысит критическое значение. Для случаев 1, 3, 4 форма стержня при увеличении силы F остается неизменной.

3) Ответ неверный! Схема, изображенная на рисунке, соответствует растяжению. По мере возрастания величины силы F стержень будет деформироваться (удлиняться), сохраняя прямолинейную форму до разрушения. Переход к новой форме равновесия здесь невозможен.

4) Ответ неверный! Схема, изображенная на рисунке, соответствует сжатию. Однако, учитывая наложенные граничные условия, можно сделать вывод, что внешняя нагрузка не будет восприниматься стержнем, который в данных условиях сохранит прямолинейную форму и «работать» не будет. Сила F будет полностью восприниматься опорой.

Задача 9.1.5: Формула для определения гибкости стержня длиной l имеет вид…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Формула для определения гибкости стержня  учитывает условия закрепления стержня через коэффициент приведения длины , который стоит в числителе. Данное выражение справедливо только для одного частного варианта закрепления стержня – шарнирного опирания концов стержня.

2) Ответ неверный! Критическое напряжение при решении задач устойчивости сжатых стержней определяется по формуле , где параметр называется гибкостью стержня.

3) Ответ верный. Гибкость стержня длиной l определяется по формуле . Здесь l – длина стержня;  – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня; А – площадь поперечного сечения;  – минимальный момент инерции площади поперечного сечения стержня;  – коэффициент приведения длины,  – это число полуволн синусоиды, получающейся из упругой линии стержня в пределах его длины l.

4) Ответ неверный! Гибкость стержня − величина безразмерная. При анализе данной формулы получим размерность . Следовательно, ответ неправильный. В знаменателе, в формуле для определения гибкости стержня, вместо минимального осевого момента инерции поперечного сечения стоит минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

Задача 9.1.6: Число, показывающее, во сколько раз следует изменить длину шарнирно-опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной l при рассматриваемых условиях закрепления, называется коэффициентом …

1) масштабного фактора; 2) динамичности;

3) запаса на устойчивость; 4) приведения длины.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициентом масштабного фактора называется число, на которое следует умножить предел выносливости стандартного образца, чтобы получить предел выносливости образца с заданным диаметром.

2) Ответ неверный! Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз прогиб при ударе больше прогиба, возникающего в системе при статическом приложении нагрузки.

3) Ответ неверный! Коэффициент запаса на устойчивость представляет отношение значения критической силы, при которой стержень теряет устойчивость, к фактической силе, сжимающей стержень.

4) Ответ верный. При потере устойчивости стержня длиной l, шарнирно-закрепленного по концам, изгиб происходит по полуволне синусоиды. Значение критической силы, при напряжениях не превышающих предел пропорциональности, определяется по формуле Учитывая особенности упругой линии, можно распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Пусть стержень на одном конце жестко закреплен, на другом свободен. Упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно-закрепленного стержня. Из рисунка видно, что критическая сила для стержня длиной l, защемленного одним концом, равна критической силе шарнирно закрепленного стержня длиной . Следовательно, в рассматриваемом примере . Анализируя другие варианты закрепления стержня и обобщая полученные формулы, можно получить общее выражение для определения критической силы сжатого стержня: , где  – коэффициентом приведения длины; это число, показывающее, во сколько раз следует изменить длину шарнирно-опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной l при рассматриваемых условиях закрепления.

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня Стержень квадратного сечения площадью поперечного сечения А, длиной l сжимается силой F. При замене квадратного сечения на круглое с той же площадью А, при прочих равных условиях, гибкость стержня ______________ раза.

			увеличится в
			уменьшится в
			уменьшится в
			увеличится в

Решение: Воспользуемся формулой для определения гибкости  При прочих одинаковых условиях, гибкость стержня зависит от минимального радиуса инерции сечения    Для квадратного сечения  Для круглого сечения  После вычислений получим, что при замене квадратного сечения на круглое при одинаковой площади гибкость стержня увеличится в   раза.

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня При потере устойчивости сжатого стержня изгиб стержня происходит в плоскости …

			наименьшей жесткости
			наибольшей жесткости
			равнонаклоненной к осям симметрии
			расположенной в любом направлении

Решение: Рассмотрим прямолинейный стержень прямоугольного сечения с размерами  , причем   Пусть стержень сжимается силами F, приложенными строго в центре тяжести сечений. Изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости, то есть перемещения w направлены перпендикулярно той главной центральной оси, относительно которой осевой момент инерции сечения принимает минимальное значение 

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня Стержень длиной l круглого сечения диаметром d сжимается силой F. Напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности. При увеличении диаметра в два раза, при прочих равных условиях, критическое напряжение ____________ раза.

			увеличится в 4
			увеличится в 2
			уменьшится в 2
			уменьшится в 4

Решение: Критическое напряжение в сжатом стержне, если напряжение в стержне не превышает предела пропорциональности, определяется по формуле  где    Для круглого стержня  При увеличении диаметра в два раза  Следовательно, при увеличении диаметра стержня в два раза критическое напряжение увеличится в четыре раза.

Тема: Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня Стержень квадратного сечения с размерами  , длиной l сжимается силами F. При увеличении каждой стороны квадрата в два раза, при прочих равных условиях, гибкость стержня ___ раза.

			уменьшится в 2
			увеличится в 4
			уменьшится в 4
			увеличится в 2

Решение: Гибкость стержня определяется по формуле   При увеличении размеров поперечного сечения, при прочих равных условиях, гибкость будет зависеть от минимального радиуса поперечного сечения  В первом варианте  во втором –  Следовательно, во втором варианте гибкость стержня уменьшится в два раза.