9.3. Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Задача 9.3.1: Одинаковые стержни закреплены, как показано на рисунках. Гибкость будет наименьшей для стержня, показанного на рисунке…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Гибкость зависит от условий закрепления стержня. При шарнирном опирании значение коэффициента приведения длины . Данное значение  не будет наименьшим для схем, представленных на рисунках.

2) Ответ неверный! Проанализируйте формулу для определения гибкости стержня в зависимости от условий закрепления стержня.

3) Ответ верный. Гибкость сжатого стержня определяется по формуле . При прочих равных условиях она зависит от условий закрепления стержня (коэффициента приведения длины ). Наименьшее значение коэффициента  будет для стержня на рисунке 3). Следовательно, гибкость также будет наименьшей для стержня 3).

4) Ответ неверный! Для данного варианта закрепления стержня коэффициент приведения длины . В этом случае гибкость стержня наибольшая.

Задача 9.3.2: Коэффициент приведения длины сжатого стержня зависит от…

1) модуля упругости материала стержня;

2) площади поперечного сечения стержня;

3) длины стержня;

4) условий закрепления стержня.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины определяется формулой , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня в данных условиях закрепления.

2) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины определяется формулой , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня в данных условиях закрепления. Количество полуволн упругой линии стержня не связано с площадью поперечного сечения.

3) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины определяется формулой , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня в данных условиях закрепления. Количество полуволн упругой линии стержня не связано с длиной сжимаемого стержня.

4) Ответ верный. Для расчета стержней на устойчивость используется обобщенная формула Эйлера: . Здесь  – коэффициент приведения длины (число, показывающее, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе стержня длиной l при рассматриваемых условиях закрепления), n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня при данных условиях закрепления. Упругая форма линии стержня определяется условиями его закрепления.

Задача 9.3.3: На рисунке показаны два варианта закрепления одинаковых стержней. Отношение значений критических напряжений  равно … (При решении учитывайте, что напряжения в стержнях не превышают предела пропорциональности).

;

1) 1; 2) 1/2; 3) 1/4; 4) 4.

Решение:

1) Ответ неверный! Значение критического напряжения зависит от условий закрепления стержня. Для представленных вариантов они разные. Поэтому отношение критических напряжений не будет равно единице.

2) Ответ неверный! При вычислениях необходимо учесть, что гибкость стержня  стоит в формуле для определения критического напряжения в квадрате.

3) Ответ верный. Формула для определения критического напряжения, если напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности, имеет вид , где . Следовательно, для одинаковых стержней значения критических напряжений зависят от коэффициента приведения длины . В первом варианте закрепления стержня , во втором . После вычислений получим

4) Ответ неверный! Необходимо определить отношение , а не отношение .

Задача 9.3.4: Если удалить опору В, то величина критической силы…

1) уменьшится в 4 раза; 2) уменьшится в 2 раза;

3) уменьшится в 16 раз; 4) не изменится.

Решение:

1), 2), 4) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неучете изменения формы потери устойчивости при удалении опоры В. Изменение формы потери устойчивости учитывается коэффициентом приведения длины .

3) Ответ верный. Величина критической силы определяется с помощью обобщенной формулы Эйлера . Для схемы с опорой В форма потери устойчивости изображена штриховой линией на рис. 1. В этом случае коэффициент приведения длины . Здесь n – это число полуволн упругой линии изогнутого стержня при данных условиях закрепления. Тогда .       (1) Для схемы без опоры В форма потери устойчивости изображена штриховой линией на рис. 2. В этом случае коэффициент приведения длины . Тогда .           (2) Сопоставление выражений (1) и (2) позволяет сделать вывод об уменьшении величины критической силы в 16 раз.

Задача 9.3.5: При замене жестких закреплений стержня на шарнирные, значение критической силы… При решении учитывайте, что напряжения в стержнях не превышают предел пропорциональности.

1) увеличится в 4 раза; 2) уменьшится в 8 раз;

3) уменьшится в 2 раза; 4) уменьшится в 4 раза.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины  стоит в знаменателе формулы для определения критической силы.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка при возведении числа в степень.

3) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины  в знаменателе стоит в квадрате.

4) Ответ верный. Формула для определения критической силы сжатого стержня записывается в виде . При прочих равных условиях значение  зависит от условий закрепления стержня, т.е. от коэффициента приведения длины . В первом варианте значение , во втором . Следовательно, при замене жестких закреплений стержня на шарнирные значение  уменьшится в 4 раза.

Задача 9.3.6: При установке шарнирно-подвижной опоры в середине длины стержня АВ критическая сила…

1) увеличится в 2 раза; 2) увеличится в 4 раза;

3) увеличится в 16 раз; 4) не изменится.

Решение:

1) Ответ неверный! Ошибка заключается в неправильном вычислении критической силы

2) Ответ верный. Величина критической силы определяется формулой . Для стержня АВ без промежуточной опоры (рис. 1) коэффициент приведения длины , тогда .       (1) Для стержня АВ с промежуточной опорой С (рис. 2) . Здесь n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня при данных условиях закрепления. .         (2) Сопоставление выражений (1) и (2) позволяет сделать вывод, что добавление промежуточной опоры С увеличивает значение критической силы в 4 раза.

3) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неправильном определении форм потери устойчивости стержня АВ (рис. 1, 2) и, соответственно,  величины коэффициента приведения длины , где n – число полуволн упругой линии изогнутого стержня.

4) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неучете изменения формы потери устойчивости при введении в систему дополнительной опоры С.

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы При замене шарниров (рис. а) в сжатом стержне на жесткие защемления (рис. б) значение гибкости …

			уменьшится в 2 раза
			не изменится
			увеличится в 2 раза
			уменьшится в 4 раза

Решение: Гибкость сжатого стержня определяется по формуле   где   − коэффициент приведения длины, значение которого зависит от условий опирания концов стержня. Для варианта «а» значение   для варианта «б» −  Следовательно, гибкость уменьшится в два раза.

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы Стержень, схема закрепления которого показана на верхнем рисунке, сжимается силой F. Форма потери устойчивости стержня представлена на схеме …

			в
			а
			г
			б

Решение: При заданной схеме закрепления стержня прогиб и угол поворота крайнего левого сечения стержня равны нулю. Вертикальное перемещение крайнего правого сечения равно нулю, но разрешается поворот сечения. Этим условиям соответствует форма потери устойчивости, показанная на схеме «в».

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы Стержни изготовлены из одного материала, имеют одинаковую длину, форму и размеры поперечного сечения. Схемы закрепления стержней, сжатых силой F, показаны на рисунках. Наибольшее значение гибкости имеет стержень, показанный на рисунке …

			а
			г
			в
			б

Решение: При определении гибкости стержня воспользуемся формулой   Коэффициент   учитывает условия опирания стержня. Наибольшее значение коэффициент   имеет при закреплении концов стержня, показанного на рисунке «а»   Поэтому гибкость будет наибольшей для стержня на рисунке «а».

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы Стержень длиной l сжимается силой F. Схема закрепления показана на рисунке. Приведенная длина стержня равна …

Решение: Приведенная длина стержня определяется по формуле   где   − коэффициент приведения длины, который учитывает условия опирания стержня. Для стержня с одним защемленным, а другим свободным концами   Тогда 

Тема: Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы Форма потери устойчивости сжатого стержня, (см. верхний рис.), соответствует способу закрепления, показанному на схеме …

			г
			б
			в
			а

Решение: Форма потери устойчивости сжатого стержня, показанная на рисунке, предполагает, что оба концевые сечения имеют возможность свободно поворачиваться, а линейные вертикальные перемещения на концах равны нулю. Это возможно только для схемы закрепления стержня на схеме «г».