Контрольное задание

по «Теории вероятностей и математической статистике»

1. Вероятность того, что в страховую компанию (СК) в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,16. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0,21. Для третьего клиента – 0,11. Найти вероятность того, что в течение года в СК обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов - события независимые.

Решение:

Воспользуемся теоремой умножения вероятностей для независимых событий. Пусть А - искомое событие, P(I), P(II), P(III) – вероятности обращения в СК первого, второго, третьего клиента соответственно, тогда

Ответ: Р(А) = 0,4094

2. В магазин поступают телевизоры с трех заводов: 31% с первого завода, 26% - со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпускает 21% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, 11%, а третий - 16%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор?

Решение:

Для нахождения первой вероятности воспользуемся формулой полной вероятности, т.е.

,

где А- событие, заключающееся в приобретении бракованного телевизора

- вероятность изготовления телевизора на i-ом заводе,

- вероятность изготовления неисправного телевизора на i-ом заводе

.

Вычислим долю брака каждого завода среди всего брака по формуле Байеса, т.е.

Т.к. последняя вероятность самая большая, то бракованный телевизор, скорее всего, будет изготовлен на третьем заводе.

Ответ: ;

дефектный телевизор, скорее всего, будет изготовлен на третьем заводе.

3. При данном технологическом процессе 76 % всей продукции - 1-го сорта. Найти наивероятнейшее число первосортных изделий из 210 изделий и вероятность этого события.

Решение:

Обозначая вероятность выпуска изделия 1-го сорта через p = 0,76, будем иметь

q = 1 - p = 1 – 0,76 = 0,24 - получение изделия не 1-го сорта. Так как здесь n = 210, то искомое число можно найти из неравенств:

Отсюда наивероятнейшее число изделий 1-го сорта из 210 штук равно 160.

Определим вероятность такого события. Т.к. количество испытаний велико и нет возможности применить формулу Бернулли, то для нахождения вероятности наивернейшего числа воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

,

где , - диф. функция Лапласа-Гаусса

Определим аргумент функции Лапласа-Гаусса

По таблице значений функции Гаусса определим .

Тогда .

Ответ: к = 160,

4. Для подготовки к экзамену студенту нужна определенная книга, которая может находиться в каждой из 4-х доступных студенту библиотек с вероятностью 0,4. Составить закон распределения числа посещаемых библиотек. Обход прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех библиотек. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

Случайная величина принимает значения 1 2 3 4 по числу посещенных библиотек. Если студент нашел книгу в первой библиотеке, то значит р = 0,4. Если во второй, значит он в первой не нашел с вероятностью q = 0,6 и во второй нашел c вероятностью р = 0,4 и т.д. и т.п. В последней библиотеке он может как найти, так и не найти свою книгу.

х	1	2	3	4
р	0,4	0,6 ∙ 0,4 = 0,24	0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,4 = 0,144	0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,4 + 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 = 0,216

Найдем мат. ожидание СВ:

Найдем дисперсию СВ:

Ответ:

х	1	2	3	4
р	0,4	0,24	0,144	0,216

5. В нормально распределенной совокупности 16% значений X меньше 12 и 46% значений X больше 18. Найдите параметры этой совокупности.

Решение:

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала определяется формулой:

Решим полученную систему уравнений и, воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа, найдем параметры совокупности и .

Ответ: ; .

6. На фирме заработная плата X сотрудников (в у.е.) задана таблицей:

интервалы	Н.Г.	300	320	340	360	380	400
	В.Г.	320	340	360	380	400	420
частота	f	10	20	30	25	10	5

Найти: среднее арифметическое и стандартное отклонение S. Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить с эмпирическим на уровне значимости α =0,05.