4. Средние статистические величины и показатели вариации

4.1. Средние статистические величины: сущность, значение, виды и способы расчета

Наряду с абсолютными и относительными величинами в статистике большое использование находят средние величины, используемые для обобщающей характеристики совокупности по количественным признакам.

Средние величины широко применяются в анализе, планировании и прогнозировании производственно-хозяйственной деятельности автотранспортных предприятий. Так при разработке бизнес-плана используются показатели средней заработной платы, среднего расхода автомобильного топлива, средней продолжительности рабочего дня и др.

Средней величиной называется обобщающая количественная характеристика признака статистической совокупности. В средних величинах находят отражение общие черты, свойственные всей изучаемой совокупности, и вместе с тем погашаются индивидуальные различия единиц совокупности. Например, для характеристики использования автомобилей в грузовом АТП рассчитывается среднесуточный пробег автомобиля, который отражает типичный уровень суточного пробега для всей совокупности автомобилей.

Средняя статистическая величина будет объективной в том случае, если она рассчитана для однородной статистической совокупности. Чтобы получить такую совокупность, необходимо провести группировку данных, а затем в каждой группе рассчитать среднюю величину.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак отдельных единиц изучаемой совокупности.

В экономических исследованиях и практических расчетах применяются различные виды средних величин. Какой вид средней величины выбрать, решается путем анализа изучаемой совокупности.

При этом необходимо:

- определить экономический (логический) смысл рассчитываемой средней величины;

- установить, для каких последующих расчетов используется средняя величина – точных или приближенных;

-проанализировать, как представлена исходная информация: индивидуальными или сгруппированными данными; в статике или в динамике; первичными или вторичными признаками.

Для расчета средних величин используются следующие обозначения:

X₁, X₂, X₃,…X_i,…X_n – значения изучаемого признака;

n - число единиц совокупности, - средняя величина признака.

В практической работе автотранспортных предприятий используется несколько видов средних величин.

Средняя арифметическая – это основной вид средних величин. В зависимости от представления исходных данных средняя арифметическая может быть рассчитана двумя способами.

1. Если результаты статистического наблюдения представлены индивидуальными, отдельными значениями признака, то используется средняя арифметическая простая

. ( 4.1)

2. Если исходные данные сгруппированы, то применяется средняя арифметическая взвешенная

, (4.2)

где - частота (вес) показывает повторяемость индивидуальных значений признака;

Σfi - это общая величина изучаемой совокупности.

В качестве весов могут выступать как абсолютные, так и относительные величины.

Средняя гармоническая. Данная средняя представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известны не первичные, а вторичные носители признака для расчета средней величины. Например, для определения средней заработной платы по предприятию, когда известны фонд заработной платы и средняя заработная плата по отдельным категориям работающих. Средняя гармоническая может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле

. (4.3)

Расчет средней гармонической взвешенной

. (4.4)

Для расчета средних величин в рядах динамики рассчитывают среднюю геометрическую и среднюю хронологическую.

Средняя геометрическая используется для расчета среднего темпа роста ( ). Расчет ведется по формуле

, (4.5)

где - цепной относительный показатель динамики.

Таким образом, для того чтобы рассчитать , следует предварительно вычислить цепные относительные величины ряда динамики. Значения показателей ряда динамики могут быть представлены как моментными, так и интервальными показателями.

Средняя хронологическая. Она применяется для расчета средних величин только моментных рядов с равноотстоящими уровнями.

, (4.6)

где x – величина показателя на определенный момент времени (на начало или конец месяца, квартала или года);

n – число уровней ряда.

Особой разновидностью средних величин являются мода и медиана, которые условно называются структурными средними. Они характеризуют состав статистической совокупности по одному из варьирующих признаков.

Структурные средние в основном используются для приближенных расчетов или в тех случаях, когда невозможно использовать среднюю для точного расчета.

Мода – значение варьирующего признака, которое наиболее часто встречается в изучаемой совокупности.

В дискретных рядах распределений мода определяется величиной показателя имеющего наибольшую частоту. В интервальных рядах для вычисления моды используется следующая формула:

, (4.7)

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана рассчитывается по-разному в дискретных и интервальных рядах.

Если в дискретном ряду распределения нечетное число значений, то медианой будет серединное значение ранжированного ряда признаков.

Если ряд распределения дискретный и состоит из четного числа членов, то медиана определяется как средняя арифметическая из двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда.

В интервальных рядах медиана определяется по формуле

, (4.8)

где - нижняя граница медианного интервала (интервала, для которого накопленная частота впервые превысит полусумму частот);

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

Мода применяется в экспертных оценках, коммерческой практике при изучении потребительского спроса, анализе заработной платы на предприятии. Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях.