6. Наращенная и современная величины ренты

Наращенная величина годовой ренты определяется по формуле

,

где – размер платежа, – коэффициент наращивания ренты, который определяется следующими соотношениями:

• для ренты постнумерандо (в конце срока) при начислении процентов по сложной ставке

,

• для ренты пренумерандо (в начале срока) при начислении процентов по сложной ставке

,

• для ренты постнумерандо (в конце срока) при начислении процентов по простой ставке

,

• для ренты пренумерандо (в начале срока) при начислении процентов по простой ставке

,

где – срок ренты, – процентная ставка.

Для современной величины имеем следующие соотношения:

,

где коэффициент приведения определяется формулами:

• для ренты постнумерандо (в конце срока) при начислении процентов по сложной ставке

,

• для ренты пренумерандо (в начале срока) при начислении процентов по сложной ставке

,

• для ренты постнумерандо (в конце срока) при начислении процентов по простой ставке

,

• для ренты пренумерандо (в начале срока) при начислении процентов по простой ставке

.

Вопрос 37. Модель оптимизации рискового и безрискового портфелей ценных бумаг

1. Модель Марковица минимального риска

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу формирования оптимального портфеля ценных бумаг:

Минимизировать вариацию портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля , т.е. .

Поскольку – доли, то в сумме они должны составлять единицу, т.е. .

Оптимальное решение этой задачи обозначим через . Если , то это означает рекомендацию вложить долю наличного капитала в ценные бумаги -ого вида. Если , то это означает, что нужно провести операцию «shot sale» (короткая продажа). Если такие операции невозможны, то необходимо ввести тривиальные ограничения на переменные задачи.

Данный портфель минимального риска из всех портфелей заданной эффективности называется портфелем Марковица минимального риска. Его риск есть функция его заданной эффективности .

2. Портфель Тобина минимального риска

Если на рынке есть безрисковые ценные бумаги, например, государственные ценные бумаги, то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается.

Пусть – эффективность безрисковых бумаг (безрисковая банковская ставка), – доля капитала, вложенного в эти бумаги, тогда в рисковую часть портфеля вложена часть всего капитала.

Пусть – эффективность, – вариация (дисперсия) рисковой части портфеля и – риск этой рисковой части портфеля ценных бумаг.

Тогда эффективность всего портфеля равна . Вариация портфеля равна , (предполагается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая , получим , т.е. эффективность портфеля линейно зависит от его риска. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до .

Задача Марковица об оптимальном портфеле запишется в следующем виде

при условии

Тогда оптимальное значение долей равно

,

где – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, – вектор-столбцы долей капитала, вкладываемого в -й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемые эффективности этого вида ценных бумаг, соответственно, – -мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1.

Структура рисковой части портфеля не зависит от , хотя сами компоненты вектора зависят от , а именно, компоненты вектора пропорционально увеличиваются с ростом . Поэтому доля безрисковых вложений будет при этом сокращаться из-за ограничения .

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля подставим оптимальный вектор . Получим

или ,

где .

Данный портфель минимального риска называется портфелем Тобина. Портфель Тобина – это портфель Марковица при наличие на рынке безрисковых ценных бумаг.