Дослідження умов рівноваги механічної системи.
Оскільки в роботі формула для прискорення отримана без врахування істинного напрямку руху, який визначається деяким співвідношенням між масами, радіусами, кутами, відповімо на питання – якою повинна бути маса тіла 1, щоб утримувати в рівновазі всю систему з заданими масогабаритними характеристиками. Приймемо для спрощення, що коефіцієнти тертя ковзання і кочення дорівнюють нулю:
( ).
2.1. Загальне рівняння статики.
Для дослідження умов рівноваги за допомогою загального рівняння статики прикладемо до тіл матеріальної системи активні сили та момент сили . (рис. 3) та надамо матеріальній системі можливих переміщень та .
Згідно загального рівняння статики для матеріальної системи що знаходиться в рівновазі, на яку накладені ідеальні, стаціонарні в’язі, сума робіт активних сил на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:
Отже
Враховуючи співвідношення між можливими переміщеннями
=
вираз (2.2) прийме вигляд:
Оскільки , то скорочуючи на “ ” та “ ” , отримаємо:
Якщо маса тіла 1 буде більша, ніж обчислена за (2.5), то тіло 1 буде рухатись донизу, якщо – менше, то до-гори.
2.2. Умови рівноваги кожного тіла окремо.
Прикладемо до кожного тіла окремо (рис. 4) активні сили і сили реакції в’язей (як і раніше, вважаємо, що ( ).
Складемо рівняння рівноваги :
тіла 1 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху
тіла 2 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно вісі обертання:
тіла 3 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно миттєвого центру швидкостей (точка
тіла 4 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху:
Виразивши з (2.6),(2.7), та (2.9) відповідно:
(2.10)
підставимо (2.10) в (2.8), отримаємо:
що тотожно співпадає з (2.5).
2.3. Рівновага як окремий випадок руху при .
Прирівняємо нулю вираз для з (1.23).
Оскільки знаменник виразу (1.23) нулю не дорівнює, прирівняємо до нуля чисельник. Пам’ятаючи, що задача про умови рівноваги вирішувалась в припущенні, що , отримаємо:
що тотожно виразу (2.12) та (2.5).
3. Принцип д’Аламбера-Лагранжа.
Принцип Д’Аламбера-Лагранжа, чи загальне рівняння динаміки стверджує, що при русі механічної системи, на яку накладаються ідеальні стаціонарні в’язи сума робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:
В виразі (3.1) - активні сили та моменти, що прикладені до точок матеріальної системи ( до них також відносяться неідеальні складові реакціх в’язей, наприклад сили тертя). В цьому виразі - сили інерції, які за Д’Аламбером обраховуються як для поступального руху ( - маса тіла, що рухається поступально, - поступальне прискорення), та ; для обертального руху ( – осьовий момент інерції, - кутове прискорення). Акцентуємо увагу на те, що сили інерції спрямовані (про це свідчить знак “-“ мінус) проти відповідного прискорення.
Покажемо на Рис. 5 активні сили та момент неідеальні в’язі та , а також сили інерції поступального та обертального руху (напрямки лінійних прискорень ; співпадають з напрямками елементарних переміщень , а напрямки кутових прискорень співпадають з напрямком елементарних кутів повороту , див. Рис. 2.
Надамо матеріальній системі можливих переміщень та див. (Рис. 3), і запишемо суму робіт у відповідності до (3.1)
З урахуванням ,
Співвідношень між кутовими прискореннями:
та співвідношень між можливими переміщеннями:
=
вираз (3.2) прийме вигляд:
Скорочуючи (3.5) на складові з в одну частину рівняння, а складові без - в іншу, отримаємо для :
Вираз (3.6) є тотожнім з виразом (1.23)
При необхідності знайти інший кінематичний параметр, наприклад , необхідно в вираз (3.2) підставити замість співвідношень (3.3) аналогічні вирази кінематичних параметрів через
; (3.7)