Тема 17
Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт
. Різницю називають повним приростом функції за х та у при переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х функції , а різницю — частинним приростом за у цієї функції. Позначають ці прирости відповідно і . Отже,
. Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:
Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,
Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.
Теорема . Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні
,
Теорема. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому
Теорема . Якщо дві мішані похідні порядку m, що відрізняються лише порядком диференціювання, неперервні в деякій точці, то їх значення в цій точці збігаються
Тема 18
Локальні екстремуми функції багатьох змінних
Тема 19
Поняття первісної функції та невизначеного інтегралу. Таблиця основних інтегралів
. Нехай функція f (x) є похідною від функції F (x), тобто f (x)dx — диференціал функції F (x):
Найзагальніший вигляд первісної для даної функції f (x) (або даного виразу f (x)dx) називається її невизначеним інтегралом
Вираз називають підінтегральним виразом, функцію f (x) — підінтегральною функцією, змінну x — змінною інтегрування
Теорема 1. Усяка неперервна функція має первісну
Основні властивості невизначеного інтеграла
Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній:
Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок:
Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
Властивість 4. Інтеграл алгебраїчної суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів доданків:
Тема 20
Означення та умови існування визначеного інтегралу. Властивості. Формула ньютона – Лейбніца
Сума називається інтегральною сумою, або сумою Рімана.
Скінченна границя І суми s при називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a; b] і позначається
Теорема. (Необхідна умова інтегрування.) Інтегровна на проміжку [a; b] функція обмежена.
Властивості визначеного інтеграла
Властивість 1. Визначений інтеграл є міра площі. Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції.
Властивість 2. При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, не змінюючи абсолютної величини.
Властивість 3. (Поділ відрізка інтегрування.) Нехай точка c Î [а; b]. Тоді
Властивість 4. (Знак визначеного інтеграла.)
1. Якщо f(x) > 0 для х Î (а; b), a < b, то
2. Якщо f(x) < 0 для х Î (а, b), a < b, то
Властивість 5. Якщо j(х) > y(х) для х Î (a; b), a < b, то справджується рівність:
Властивість 6. Визначений інтеграл суми функцій подається як алгебраїчна сума інтегралів:
(5)
Властивість 7. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:
(6)
Властивість 8. Якщо функція f(x) інтегровна на [a; b] і а < b, то
(7)
Властивість 9. Якщо f(x) інтегровна на [a; b], де а < b, і якщо на цьому проміжку виконується нерівність
то
(8)
Властивість 10. (Теорема про середнє значення.) Нехай f(x) — інтегровна на [a; b] функція і на всьому проміжку Тоді