4. Опишите основные свойства прямых и итерационных методов решения уравнений.
Методы численного решения системы (1) делятся на две группы: прямые методы («точные») и итерационные методы.
Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы (1) за конечное число арифметических операций. К этим методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, LU-метод и т.д.
Итерационные
методы (методы последовательных
приближений) состоят в том, что решение
системы (1) находится как предел
последовательных приближений
при
,
где nномер
итерации. При использовании методов
итерации обычно задается некоторое
малое число 0
и вычисления проводятся до тех пор,
пока не будет выполнена оценка
.
К этим методам относятся метод Зейделя,
Якоби, метод верхних релаксаций и т.д.
Следует заметить, что реализация прямых методов на компьютере приводит к решению с погрешностью, т.к. все арифметические операции над переменными с плавающей точкой выполняются с округлением. В зависимости от свойств матрицы исходной системы эти погрешности могут достигать значительных величин.
5. Что понимают под сходимостью итерационной процедуры? Ответпоясните примерами.
Итерационный процесс - последовательное приближение и проверка условия достижения искомого результата. В итерационных алгоритмах необходимо обеспечить обязательное достижение условия выхода из цикла (сходимость итерационного процесса). В противном случае произойдет зацикливание алгоритма.
Проверка сходимости итерационного процесса выполняется по относительным приращениям обобщенных деформаций на данной итерации. Большее из двух относительных приращений обобщенных деформаций сравнивается с заданным критерием сходимости. В случае неудовлетворения заданному критерию итерационный цикл повторяется. В противном случае итерационный процесс заканчивается и найденные на последней итерации компоненты напряжений и жесткости сечений являются окончательными расчетными. [1]
Критерием сходимости итерационного процесса является сравнение двух последующих величин сх и су.
Пример в курсовой – сравнение abs(f)<0.00001
6. Что такое область сходимости применительно к итерационной процедуре?
Говорят, чтоитерационный процесс сходится, если при выполнении последовательных итераций получаются значения корней, все ближе и ближе приближающиеся к точному значению корня. В противном случае итерационныйпроцесссчитается расходящимся. Перепишем для удобства уравнение (1) в виде:
(3)
что
можно получить путем замены: 
.
Пусть 
–
нулевое приближение, т.е. начальное
приближенное значение корня уравнения
(3). Тогда в качестве следующего, 1-го,
приближения примем
следующим, 2-м, приближением будет
и т.д., в качестве n-го приближения примем
(4)
Здесь
возникает главный вопрос: приближается
ли 
к
истинному решению уравнения (3) при
неограниченном возрастании n ?
Иными словами, сходится ли итерационный
процесс (4) ?
Уловия
сходимости метода
итераций [2]: если при всех значениях
,
вычисляемых в процессе (4) решения
задачи:
1) 
, то
итерационный процесс сходится;
2) 
, то
итерационный процесс расходится.
Если
производная 
в
некоторых точках 
по
модулю меньше 1, а в других точках 
–
больше 1, то ничего определенного о
сходимости итерационного процесса
сказать нельзя. Он может как сходиться,
так и расходиться.
Если итерационный процесс расходится, то причиной этого часто является неудачный выбор нулевого приближения. Так, на рис. 1 показано, что выбор нулевого приближения существенно влияет на сходимость итерационного процесса. Это напрямую связано с тем, находится ли нулевое приближение в области, где выполняются условия сходимости итерационного процесса.
Рис. 1. Зависимость сходимости итерационного процесса от выбора нулевого приближения
Процесс
(4) считается завершенным, если 
–
заданная точность решения.