Аннотация

В данной работе проведены расчеты двух плоских стержневых систем, для которых известны все необходимые геометрические и динамические параметры, а также указана нагрузка. Для расчета используется метод конечных элементов. Разрешающие уравнения метода строятся с применением метода начальных параметров. Результаты вычислений были визуализированы. Изображены деформированные состояния стержней конструкций, построены графики внутренних силовых факторов. Произведен расчет системы на прочность по нормальным напряжениям для заданной интенсивности нагрузки. Для обеих конструкций произведен спектральный анализ.

С целью выяснения правильности построенной численной модели, были проведены расчеты для относительно простых конструкций, для которых может быть найдено аналитическое решение. Анализ результатов показал, что средняя погрешность вычисления с помощью разработанной модели составляет менее 1%.

Содержание

1 Исходные данные ………………………………………….……………..	4
2 Основные положения метода начальных параметров………………….	5
3 Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения...………..	7
4 Построение стержневого конечного элемента с использованием аналитических решений уравнений состояния...………………………....	15
5 Выполнение индивидуального задания ……………………………….	18
6 Выводы ………………………………………………………………….	60
Список использованных источников……………………….……………..	61

1 Исходные данных

I II III I II III

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Материал, из которого изготовлены стержни: Сталь3 (). Интенсивность нагрузки. В случае наличия сосредоточенной силы. Характерный размер. Размерыа и в связаны с характерным размером l: ,. Сечение всех стержней представляет собой двутавр №12, для которого площадь сечения; осевой момент инерции;

осевой момент сопротивления .

2 Основные положения метода начальных параметров

Рассматривается линейная постановка задачи механики деформируемого твердого тела. Деформации считаются малыми, физические соотношения принимаются в форме закона Гука при растяжении и кручении. Система дифференциальных уравнений, описывающих деформированное состояние стержня при сделанных предположениях, имеет следующий вид:

(1)

где – перемещения точек стержня соответственно в направлениях касательной, нормали и бинормали;– углы поворота вокруг соответствующих осей;– продольная сила;– перерезывающие силы;– моменты, действующие в соответственно в нормальной, касательной и соприкасающейся плоскостях.– кривизна кривой, совпадающей с осью стержня;– крутка этой кривой;– соответственно модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона, плотность.

Запишем систему (1) в матричном виде:

, (2)

где – матрица модели,– матрица инерции;

–(3)

вектор состояния стержня;

–(4)

вектор внешних распределенных нагрузок (– распределенные моменты,– распределенные усилия).

Рассмотрим задачу статики. Учитывая, что в данном случае , пренебрежем инерционными слагаемыми в системе (1) и получим условия равновесия системы в виде неоднородной системы дифференциальных уравнений:

. (5)

Систему (5) можно решать операционными методами, используя интегральное преобразование Лапласа. Применим интегральное преобразование Лапласа к левой и правой части, приняв параметром преобразования переменную , и найдем выражение для изображения вектора состояния:

(6)

Введем следующее обозначение: – изображение матрицы фундаментальных решений. Запишем решение уравнения (5) в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения соответствующей неоднородной системы, используя теорему о свертке:

. (7)

Таким образом, задавая в общем случае 6 начальных компонент вектора состояния стержня при – начальных параметров, возможно получить оставшиеся неизвестные параметры состояния из граничного условия на другом конце стержня.