- •Аннотация
- •Содержание
- •1 Исходные данных
- •I II III I II III
- •2 Основные положения метода начальных параметров
- •3 Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения
- •4 Построение стержневого конечного элемента с использованием аналитических решений уравнений состояния
- •5 Выполнение индивидуального задания
- •9 Выводы
- •Список использованных источников
4 Построение стержневого конечного элемента с использованием аналитических решений уравнений состояния
Рассмотрим выражения для вектора состояния в произвольной точке стержня:
. (21)
Представим вектор состояния (3) в виде объединения двух блоков, один из которых характеризует кинематические параметры стержня , а другой – силовые параметры.
(21)
Аналогично запишем для вектора нагрузки:
, (22)
где ,.
Матрицу влияния разобьем на четыре блока:
, (23)
где ,,
, .
Запишем уравнение (21) для конца стержня :
. (24)
Выразим из (24) вектор начальных силовых параметров :
. (25)
Получим выражение для состояния стержня в любой точке через параметры начала и конца, для чего подставим (25) обратно в (21). Сгруппировав подобные слагаемые, получим уравнение, связывающее состояние стержня в любой его точке с кинематическими параметрами его начала и конца:
, (26)
где – соответственно блочная матрица и вектор, устроенные аналогично (22) и (23).
Компоненты матрицы связи и вектораимеют следующий вид:
. (27)
Чтобы найти узловые перемещения, воспользуемся методом вырезания узлов. Для этого запишем состояние в начале и в конце стержня. Из уравнений, определяющих силовые параметры, получаются условия равновесия стержня: . Учтем при этом, что матрица влияния– нормированная матрица фундаментальных решений, то есть выполняется условие– единичная матрица.
(28)
Запишем уравнения (28) в матричном виде:
, (29)
где компоненты блоков матрицы и вектораимеют следующий вид:
(30)
Уравнение (29), связывающее узловые перемещения стержня с распределенной нагрузкой, действующей на него, по определению является разрешающим уравнением метода конечных элементов. Тогда – матрица жесткости стержневого конечного элемента.
5 Выполнение индивидуального задания
Рисунок 2 - Схема конструкции 1 Конструкция представляет собой прямой стержень с шарниром на левом конце и свободным краем – на правом конце. Из последнего следует, что схема является статически определимой. Значит, производить расчет удобнее методом начальных параметров. Стержень нагружен различными силовыми факторами: сосредоточенной силой P и равномерной нагрузкой q. Поэтому разобьем стержень следующим образом:
Рисунок 3 - Выделение узлов. Конструкция 1
Запишем систему уравнений метода начальных параметров, из которой будем искать кинематические и силовые параметры стержня:
где – изгибающий момент,Q – поперечная сила, q – распределенная поперечная нагрузка, u – линейное перемещение вдоль нормали стержня, – угловое перемещение вокруг бинормали,E – модуль Юнга, I – момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. х – координата вдоль оси стержня. 1) матрица модели А, полученная из системы диф уравнений от
(u/v/teta/N/Q/M)
2) матрица влияния получена преобразованием Лапласа
аналитическое решение МНП позволяет найти вектор нагрузки:
Разобьем на блоки:
Эти формулы исключают элементы, отвечающие за силовые нагрузки из матрицы влияния:
Матрица жесткости элемента связывает перемещения и угол поворота начала и конца и вектор нагрузки:
Теперь необходимо получить силы:
Выполнение расчета для схемы 1.
Исходные данные:
Площадь сечения:
Модуль
упругости (Юнга):
Массив данных: Условия закрепления: 0 - есть закрепление по данному перемещению, 1 - свободное перемещение.
Связи: ‘’0 - закрепление, 1 – свободно’’
Структура: 1- перемещение по x для первого узла,
2- перемещение по y для первого узла,
3- угол поворота для первого узла
4- перемещение по x для второго узла
5- перемещение по y для второго узла
6- угол поворота для второго узла Процедура вычисляющая длину стержня:
{ne номер элемента, для которого считается длина
Len - длина элемента}
Процедура составляющая глобальную матрицу жесткости:
{ne - номер элемента, для которого считается длина Ans - в конце выводится глобальная матрица жесткости}
вектор перемещений
U - это вектор глобальных перемещений, в котором перемещения всех узлов записаны по порядку. Чтобы интерпретировать полученные результаты, необходимо получить векторы узловых перемещений для каждого из элементов:
Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для первого элемента:
Продольное перемещение
Угол поворота
Изгибающий момент
Продольная сила
Поперечна сила
Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для второго элемента:
Продольное перемещение
Угол поворота
Изгибающий момент
Продольная сила
Поперечна сила
Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для третьго элемента:
Продольное перемещение
Угол поворота
Продольная сила
Поперечна сила
можно сделать о том, что конструкция выдержит заданную нагрузку.
Схема 2
Рисунок 4 - Схема конструкции 2
Данная схема представляет собой стержневую систему с жесткой заделкой и неподвижной шарнирной опорой. Схема является статически неопределимой. Все эти факторы говорят о неудобстве использования МНП в том виде, который использовался при решении задания №1. Однако, можно совместить МНП с методом конечных элементов, которым и воспользуемся при решении задачи. Как было сказано выше, будем использовать метод, совмещающий МНП и МКЭ.
Отметим, что вектор состояния содержит в себе кинематические и силовые параметры. Тогда его можно разбить на 2 части: .
где и.
Тогда естественно будет разбиение матрицы влияния на 4 блока:
где каждый блок несет вполне понятную информацию:
VCC – влияние кинематических параметров на кинематические
VCF – влияние силовых параметров на кинематические
VFC – влияние кинематических параметров на силовые
VFF – влияние силовых параметров на силовые
Влияние распределенных нагрузок также разобьем на 2 части:
- влияние нагрузок на кинематические параметры
- влияние нагрузок на силовые параметры
Тогда векторы перемещений и силовых факторов можно записать в виде:
Запишем полученное первое уравнение для x=L и выразим из него начальные силовые параметры:
Подставим выражение во второе уравнение:
Таким образом, мы выразили силовые параметры через перемещения узлов, что напоминает КЭ-подход.
Перед последующими преобразованиями, отметим, что матрица VFC является нулевой.
Составим вектор силовых параметров в узлах:
, где
Введем также вектор узловых перемещений:
Тогда можно записать следующее уравнение:
, где K – аналог матрицы жесткости, а R – влияние распределенных нагрузок. Приведем их вид:
Определение матрицы жесткости:
- матрица жесткости в локальных координатах
Исходные данные берем из первой задачи: Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для первого элемента:
Продольное перемещение
Угол поворота
Продольная сила
Поперечна сила
Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для второго элемента:
Угол поворота
Изгибающий момент
Поперечна сила
Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для третьего элемента:
Угол поворота
Изгибающий момент
Поперечна сила
можно сделать о том, что конструкция выдержит заданную нагрузку.