- •Аннотация
- •Содержание
- •1 Исходные данных
- •I II III I II III
- •2 Основные положения метода начальных параметров
- •3 Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения
- •4 Построение стержневого конечного элемента с использованием аналитических решений уравнений состояния
- •5 Выполнение индивидуального задания
- •9 Выводы
- •Список использованных источников
3 Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения
Рассмотрим преобразования (5)-(7) для случая плоской деформации. Выберем следующий порядок параметров состояния стержня:
. (8)
В (8) опущены индексы, указывающие направления соответствующих векторов. Будем полагать далее, что .
Запишем матрицу модели стержня и вектор распределенных нагрузок для плоского случая, используя (1):
. (9)
Найдем матрицу фундаментальных решений и вектор нагрузок, используя выражение (7) и применив обратное преобразование Лапласа:
. (10)
Рассмотрим некоторые примеры, демонстрирующие применение описанного метода.
Пример 1. Задача о консольной балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции, находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки, действующей в направлении осиOY.
Рисунок 2 – Расчетная схема примера 1
Найдем аналитическое решение данной задачи, используя классическую теорию изгиба:
(11)
Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий , получим зависимости кинематических и силовых параметров балки:
(12)
На правом свободном краю стержня получены следующие значения перемещений: . На рисунке 3 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.
Рисунок 3 – Кинематические параметры стержня
На рисунке 4 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке – распределение изгибающего момента.
Рисунок 4 – Силовые параметры стержня
Найдем решение этой же задачи, используя метод начальных параметров. Запишем вектор состояния в виде (8) для стержня, используя найденную матрицу влияния (10) и выражение (7):
. (13)
Далее, в соответствии с граничными условиями в начале стержня, зададим начальные параметры . Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня:
(14)
Из системы (14) получим, что . Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:
(15,а)
(15,б)
В задаче задана следующая нагрузка . Для такой нагрузки решение (15,а) и (15,б) примет вид:
(16)
Сравнивая выражения (12) и (16), сделаем вывод о применимости решения, найденного методом начальных параметров.
Пример 2. Задача о балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции, находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки, действующей в направлении осиOY. На левом конце балка закреплена неподвижным цилиндрическим шарниром, а на правом конце – горизонтальной катковой опорой.
Рисунок 5 – Расчетная схема примера 2
Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий , получим зависимости кинематических и силовых параметров балки:
(17)
Углы поворота сечения в начале и конце стержня равны. . На рисунке 6 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.
Рисунок 6 – Кинематические параметры стержня
Рисунок 7 – Силовые параметры стержня
На рисунке 7 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке – распределение изгибающего момента.
Общий вид вектора состояния стержня совпадает с (13). Зададим начальные параметры . Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня:
(18)
Из системы (18) получим, что . Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:
(19)
В задаче задана следующая нагрузка . Для такой нагрузки решение (19) примет вид:
(20)
Как видно из (17) и (20) решения классическим методом и методом начальных параметров полностью совпадают.