4. Методы стохастического факторного анализа

В со­ответствии с жестко детерминированным представлением о функционировании экономических систем любое действие вызывает строго определенный результат, случайными (не­предвиденными заранее) воздействиями при этом пренебрега­ют. Однако многие экономические явления имеют вероятност­ный характер.

Дополнением детерминированного ФА является стохастическое моделирование.

Стохастическая связь - связь между величинами, при которой 1 их них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины х или величин х_1, х₂,..., х_п (случайных или неслучайных) изменением закона распределения.

Это происходит из-за того, что зависимая переменная (результативный показатель), кроме рассматри­ваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также не­которых неизбежных ошибок измерения переменных. Так как значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, то они могут быть определены только с некоторой вероятностью.

Особенности стохастических связей:

1 - такие связи проявляются во всей со­вокупности, а не в каждой ее единице.

2 - проявление стохасти­ческих связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайные взаимопогасятся и за­висимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо.

Частным случаем стохастической связи является корре­ляционная связь, при которой различным значениям 1 или нескольких случайных величин соответствуют разные средние значения случайной величины результативного показателя.

Приемы корреляционного анализа, позволяющего уста­новить связь между показателями и измерить ее тесноту, достаточно широко применяются в экономическом анализе.

Корреляционный анализ позволяет решить следующие зада­чи:

- измерить тесноту известной связи между варьирующими показателями,

- установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.

Регрессионный анализ является методом установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми показателями.

Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяет­ся результативный (зависимый) показатель (у) при изменении любого из независимых факторов (х.).

В ходе регрессионного анализа решаются 2 задачи:

1) построение уравнения регрессии, которое и является факторной моделью,

2) оценка значи­мости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию резуль­тативного показателя (у).

Отличия корреляционного и регрессионного анализа:

а) корреляционный анализ только отвечает на вопрос, существует ли связь между анализируе­мыми показателями, а регрессионный анализ дает ее формали­зованное выражение

б) корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь показателей, а регрессионный — причинно-следственную зависимость, т.е. одностороннюю, по­казывающую, каким образом изменение факторных признаков влияет на результативный показатель.

Виды связей:

1. В зависимости от направления действия связи в А могут быть прямыми и обратными.

При прямой связи имеет место однонаправленное изменение фактора и результативного показателя, т.е. при ро­сте фактора результативный показатель растет, при снижении фактора — снижается.

При обратной связи изменения фактора и результативного показателя являются разнонаправленными, т.е. при росте фактора результативный показатель снижается, при снижении фактора — растет.

2. В зависимости от количества факторов, влияющих на результативный показатель, различают однофакторные и многофакторные взаимосвязи.

Взаимосвязь между 1 фак­тором и результативным показателем устанавливает парная корреляция, взаимодействие нескольких факторов с результа­тивным показателем — множественная.

3. В зависимости от формы связи различают прямолинейную (линейную) и криволинейную связи.

Линейная связь описы­вается уравнением прямой и характеризует непрерывное пропорциональное изменение результативного показателя в зависимости от изменения фактора, причем эта связь может быть как прямой, так и обратной.

При криволинейных связях результативные показатели могут неравномерно, непропорци­онально меняться либо в том же направлении, что и факторы, либо в другом.

От форм связи непосредственно зависит вид факторной модели (уравнения регрессии). При изучении связи экономических показателей доста­точно часто используют уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи, которое имеет вид

у = а + bх,

где у — результативный показатель;

х — фактор;

а, b — параметры (коэффициенты) уравнения регрессии, которые необходимо определить.

Коэффициент парной линейной регрессии (b) имеет смысл показателя силы связи между вариацией фактора (х) и вариацией результативного показателя (у). Уравнение регрессии показывает среднее значение изменения резуль­тативного показателя (у) при изменении фактора (х) на 1 единицу его измерения, т.е. вариацию (у), приходящуюся на единицу вариации (х). Знак (b) указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения регрессии находят методом наи­меньших квадратов. При использовании данного метода в ка­честве решения принимается точка минимума суммы квадра­тов отклонений, т.е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных у_i от выровненных:

,

Для нахождения минимума данной функции ее частные производные приравниваются к 0, в результате чего по­лучается система 2 линейных уравнений

где n — количество наблюдений.

Решив эту систему, получим:

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ проводится в несколько этапов:

- вначале выбираются факто­ры, стохастически влияющие на результативный показатель;

- затем строится многофакторная модель (уравнение много­факторной регрессии);

- рассчитываются параметры модели;

- измеряется теснота взаимосвязи и оцениваются полученные результаты.

Для многофакторной линейной зависимости между n фак­торами и результативным показателем уравнение регрессии имеет вид:

Для 2х-факторной регрессионной модели вида

Параметры уравнения регрессии а, b и c находятся путем решения системы уравнений:

После построения уравнения регрессии необходимо про­верить его значимость, т.е. с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выра­женная уравнением регрессии, случайной.

В статистике разра­ботаны методы строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специ­альных критериев. Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения, называемого средней ошибкой аппроксимации ( ):

=

где у — фактическое значение результативного показателя;

у_x — расчетное значение результативного показателя.

Модель считается адекватной, т.е. пригодной для практи­ческого использования, если средняя ошибка аппроксимации не превышает 15%.

Из уравнения регрессии видно влияние каждого фактора на результативный показатель, однако факторы измеряются в разных единицах и потому между собой не сопоставимы.

Для сравнения влияния факторов на результативный показатель могут быть использованы частные коэффициенты эластич­ности, которые показывают, на сколько процентов изменяется результативный показатель при изменении соответствующего фактора на 1%. Влияние остальных факторов при этом не изме­ряется.

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются так же, как для парной корреляции:

для фактора

для фактора