- •Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку. Звязок з системою звичайних диференціальних рівнянь у симетричній формі.
- •Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними іі порядку для випадку двох і багатьох незалежних змінних.
- •Види топологічних просторів. Топологія, індукована метрикою.
- •Поняття метричного простору. Простір ізольованих точок. Метричні простори r1, r(n), c[a,b].
- •Граничні точки, точки дотику, замикання множини. Сепарабельні простори. Послідовність в метричному просторі. Границя послідовності.
- •Стискаючі відображення, їх неперервність. Теорема Банаха, її геометричне тлумачення.
- •Поняття лінійного простору. Приклади. Лінійна залежність і лінійна незалежність елементів. Нескінченно - вимірні простори. Підпростори.
- •Означення і приклади нормованих просторів. Означення евклідових просторів. Нерівність Буняковського - Коші.
- •Означення і приклади лінійних операторів. Неперервність і обмеженість. Норма операторів. Сума і добуток операторів. Обернений оператор, оборотність.
- •Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Класи еквівалентності, фактор–множина.
- •Бінарні відношення порядку, його властивості. Мінімальні та максимальні елементи. Впорядковані множини.
- •Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- •Ізоморфізм та гомоморфізм груп. Його властивості.
- •Кільце, приклади кілець. Основні властивості кілець. Ізоморфізм та гомоморфізм груп
- •Поле. Приклади полів, основні властивості полів. Ізоморфізм та гомоморфізм полів.
- •Поле комплексних чисел. Комплексні числа, алгебраїчна форма комплексних чисел.
- •Неперервні відображення топологічних просторів і їх властивості. Гомеоморфізм.
- •Теорема Ейлера для многогранників.
- •Суть сучасного аксіоматичного методу. Основні вимоги до системи аксіом. Поняття про інтерпретацію системи аксіом.
- •Точково–векторна аксіоматика Вейля трьохвимірного евклідового простору і її несуперечливість.
- •Вимірювання многокутників. Площа многокутника і її аксіоми. Теорема існування і єдиності.
- •Рівноскладеність і рівновеликість многокутників і многогранників.
- •Аксіоматика площини Лобачевського. Абсолютна геометрія. Паралельні напрямлені прямі на площині Лобачевського і їх властивості.
- •Взаємне розміщення прямих на площині Лобачевського. Теорема про існування розбіжних прямих і наслідки з неї. Критерій розбіжності двох прямих.
- •Трикутники на площині Лобачевського.
- •Незалежність аксіоми паралельності від решти аксіом д. Гільберта.
Стискаючі відображення, їх неперервність. Теорема Банаха, її геометричне тлумачення.
Існує багато теорем пов’язаних з існуванням кореня розв’язку рівнянь ( , диференціальних рівнянь, інтегральних, СЛАР), які можуть бути доведені з єдиної точки зору: шляхом доведення існування нерухомої точки деякого відображення.
Точка наз. нерухомою точкою відображення метричного простору в себе, якщо справедливою є рівність .
Відображення метричного простору в себе наз. стискуючим, або просто стиском, якщо існує таке число , що викон. нерівність: .
Тобто відстань між образами не перевищує відстань між прообразами.
Теор. Усяке стискуюче відображення є неперервним.
Довед. Доведення проведемо на мові послідовностей, тобто за Гейне. Нехай - довільна послідовність, яка збігається до елемента . Тобто , при . Запишемо умову стиску: , . При , , отже , звідки вираз у лівій частині теж прямує до нуля, що означає, що послідовність . Звідки слідує неперервність відображення.
Теор. Банаха. Усяке стискуюче відображення, яке переводить повний простір в себе, має в цьому просторі одну і тільки одну нерухому точку , або що те саме, що рівняння має єдиний корінь .
Доведення. Дано:
- повний простір;
- відображення в себе;
, - стискуюче відображення.
Треба довести, що існує елемент , такий що .
Нехай - довільна точка з простору . Побудуємо послідовність таким чином:
Покажемо, що така послідовність є фундаментальною, тобто, що знайдуться такі , що . Не зменшуючи загальності будемо вважати, що . Оцінимо:
, коли .
Невідомою залишається поведінка другого множника. Оскільки простір метричний, то ми можемо використати нерівність трикутника:
Оцінимо кожен доданок починаючи з другого даної нерівності:
,
Аналогічно будемо мати:
………………………….
Далі очевидно:
.
Оскільки , коли (як вже говорилось), а - є якась фіксована стала, то і весь вираз у правій частині при теж прямує до нуля. Це означатиме, що наша послідовність є фундаментальною. Оскільки простір у нас повний, то фундаментальна послідовність матиме в йому границю: .
Покажемо, що буде нерухомою точкою відображення, тобто . Маємо: , а . Відображення А є неперервним, отже якщо при , то буде прямувати до , тобто матимемо, що при , що й і означає, що є нерухома точка відображення.
Покажемо, що ця точка єдина. Нехай , таке що , тоді матимемо, що . Отже ми отримали, що : , це можливо лише тоді, коли =0. Оскільки простір метричний, тоді за 1-ою аксіомою метрики слідує, що .
Зауваж. 1. В процесі доведення теореми Банаха ми не тільки довели існування нерухомої точки, а й вказали спосіб її наближеного відшукання. Цей метод носить назву методу послідовних наближень. Кінцевий результат не залежить від вибору нульового наближення . Цей факт з обчислювальної точки зору представляє значний інтерес, бо кожне з наступних наближень ми можемо прийняти за , що не дасть накопичуватись похибкам, які будуть залежати від початкового наближення.
Зауваж. 2. На практиці обчислення припиняють на якомусь кроці. Тоді виникає питання, як оцінити похибку між точним результатом і наближеним. Скористаємось нерівністю, яку отримали в процесі доведення теореми:
, при матимемо: .
Дамо геометричну ілюстрацію теореми Банаха.
Дана оцінка та графічна ілюстрація показують, що показує, що послідовні наближення збігаються до точного розв’язку із швидкістю геометричної прогресії.