- •Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку. Звязок з системою звичайних диференціальних рівнянь у симетричній формі.
- •Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними іі порядку для випадку двох і багатьох незалежних змінних.
- •Види топологічних просторів. Топологія, індукована метрикою.
- •Поняття метричного простору. Простір ізольованих точок. Метричні простори r1, r(n), c[a,b].
- •Граничні точки, точки дотику, замикання множини. Сепарабельні простори. Послідовність в метричному просторі. Границя послідовності.
- •Стискаючі відображення, їх неперервність. Теорема Банаха, її геометричне тлумачення.
- •Поняття лінійного простору. Приклади. Лінійна залежність і лінійна незалежність елементів. Нескінченно - вимірні простори. Підпростори.
- •Означення і приклади нормованих просторів. Означення евклідових просторів. Нерівність Буняковського - Коші.
- •Означення і приклади лінійних операторів. Неперервність і обмеженість. Норма операторів. Сума і добуток операторів. Обернений оператор, оборотність.
- •Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Класи еквівалентності, фактор–множина.
- •Бінарні відношення порядку, його властивості. Мінімальні та максимальні елементи. Впорядковані множини.
- •Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- •Ізоморфізм та гомоморфізм груп. Його властивості.
- •Кільце, приклади кілець. Основні властивості кілець. Ізоморфізм та гомоморфізм груп
- •Поле. Приклади полів, основні властивості полів. Ізоморфізм та гомоморфізм полів.
- •Поле комплексних чисел. Комплексні числа, алгебраїчна форма комплексних чисел.
- •Неперервні відображення топологічних просторів і їх властивості. Гомеоморфізм.
- •Теорема Ейлера для многогранників.
- •Суть сучасного аксіоматичного методу. Основні вимоги до системи аксіом. Поняття про інтерпретацію системи аксіом.
- •Точково–векторна аксіоматика Вейля трьохвимірного евклідового простору і її несуперечливість.
- •Вимірювання многокутників. Площа многокутника і її аксіоми. Теорема існування і єдиності.
- •Рівноскладеність і рівновеликість многокутників і многогранників.
- •Аксіоматика площини Лобачевського. Абсолютна геометрія. Паралельні напрямлені прямі на площині Лобачевського і їх властивості.
- •Взаємне розміщення прямих на площині Лобачевського. Теорема про існування розбіжних прямих і наслідки з неї. Критерій розбіжності двох прямих.
- •Трикутники на площині Лобачевського.
- •Незалежність аксіоми паралельності від решти аксіом д. Гільберта.
Поняття метричного простору. Простір ізольованих точок. Метричні простори r1, r(n), c[a,b].
Множина об′єктів довільної природи х,у,z,… наз. метричним простором, якщо на цій множині визначено поняття відстані (х,у), яка будь-яким двом елементам х та у ставить у відповідність число (х,у), яке задовольняє трьом аксіомам:
(х,у)0 , (х,у)=0xy, рефлективність відстані;
(х,у)= (у,x), симетричність відстані;
(х,у) (х,z)+ (z,у), нерівність трикутника.
Метрич. простір з множиною елементів Х та заданою відстанню , позначають (Х,).
Приклади метричних просторів:
1.Простір R1, Х – дійсні числа, відстань визнач. так: (х,у) = . Перевіримо, чи даний простір буде метричним, для цього повинно виконуватись три аксіоми метрики.
а)(х,у)0 – в силу властивостей модуля дійсного числа. Якщо (х,у)=0 . Якщо , то (х,у)= (y,у)= . 1-у аксіому довели.
б) (х,у) = = .
в) (х,у) = =
2.Простір ізольов. точок. х,у,z,… - елементи довільної природи, .
3.Простір Rn. x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn), . Перевіримо:
а) (х,у)0 – випливає із властивостей квадрата числа, суми, та кореня квадратного. Якщо х=у, то (х,у) = (х,х) = = 0. Нехай (х,у) = 0 , тоді = 0 ( ), а звідси слідує, що х=у. 1-а аксіома доведена. б) ρ(х,у) = в) Довед. нерівн. ка, використ. для цього нерівність Коші-Буняков.: .Розгл. квадрат відстані ρ(х,у): (ρ(х,у))2= = = (до 2-го доданка застос. нерівність Коші-Буняковського) +
= (ρ(x,z)+ρ(z,y))2. Оскільки обидва вирази (ρ(х,у)) є невід′ємними, то квадрат можемо прибрати, тоді отримаємо нерівність трикутника.
4. Простір C[a,b] - простір неперер. ф-цій, заданий на сегменті [a,b] елементом, якого є x=x(t). Відстань вводиться так: . Довед. 3-ю аксіому. Для будь-якого t є [a,b] маємо: = +
. Знову ж якщо така нерівність виконується для будь-якого t є [a,b], то вона буде виконуватись і для , тобто: , тим самим довели нерівність трикутника.
Граничні точки, точки дотику, замикання множини. Сепарабельні простори. Послідовність в метричному просторі. Границя послідовності.
Нехай маємо метричний простір (X,ρ).
Якщо кожному взятому в порядку зростання, поставлено у відповідність елемент , то кажуть, що задано послідовність {xn} в цьому просторі.
Приклади. 1) , 2) , 3) .
Тут m- розмірність простору, n - загальний член послідовності.
Елемент а, який належить простору (X,ρ) називають границею послідовності , якщо для .
Теор. 1. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.
Довед. Припустимо, що існує дві границі тоді
Нехай N= max{N1,N2}, якщо n>N, то обидві нерівності виконуються одночасно. Тоді маємо: ε, а це означає , що =0, в силу довільності ε. Отже а=b.
Теор. 2. Якщо послідовність {хn} у метричному просторі має границю, то ця послідовність обмежена.
Довед. Дійсно, якщо послідовність має границю, то це означає, що
. Але - числова послідовність і вона має границю рівну нулю, отже, обмежена (І-ий курс мат. аналізу), тобто існує М, що , що і означає обмеженість, бо всі елементи послідовності знаходяться всередині кулі з центром в точці а і радіусом М.
Послідовн. {хn} з метрич. простору (Х,ρ) наз. фундаментальною або послідовністю Коші, або збіжною в собі, якщо для ε>0 що як тільки n, m >N, то ε.
Теор. 3. Якщо послідовність в метричному просторі має границю, то будь-яка її підпослідовність також має границю.
Теор. 4. Якщо послідовність має границю, то вона фундаментальна.
Доведення. Для , і нехай
Оцінимо, , а це і є умовою фундаментальності.
Заув. Обернене твердж. невірне, хоч для числових послідовностей воно справедливе.
Нехай маємо метричний простір (X,ρ). Відкритою кулею з центром у точці x0 і радіусом R наз. множина точок метрич. простору, яка задовольняє нерівність Якщо має місце, ще і рівність, то куля замкнена.
Приклад. Для простору R3 – це буде внутрішність сфери, дійсно
центр кулі, x= - біжучі координати. Для R2 кулею буде внутрішність круга радіуса R. Для R1 кулею буде інтервал. Для простору С[a,b] відкритою кулею буде смуга.
ε–околом точки х0 наз. відкрита куля з центром в точці х0 і радіусом ε.
Точка х0 наз. точкою дотику множини Е, якщо в будь-якому її околі є принаймні одна точка множини.
Множина всіх точок дотику наз замиканням множини E, і позначають [E].
Точка х0 наз. ізольованою точкою множини Е, якщо існує окіл цієї точки, який не містить жодної точки множини, окрім заданої.
Точка х0 наз. граничною точкою для множини Е, якщо в будь-якому її околі є нескінченна кількість точок множини Е.
Точка х0 наз. внутрішньою точкою множини Е, якщо вона належить множині Е разом з деяким своїм околом.
Множина Е наз. відкритою, якщо всі її точки внутрішні.
Множина Е наз. замкнутою, якщо вона містить всі свої граничні точки.
Множина СЕ наз. доповненням множини Е до повного простору, якщо всі її точки належать простору і не належать множині Е.
Множина А наз. щільною в множині В, якщо замикання А включає В ([A] В).
Множина А наз. скрізь щільною, якщо її замикання співпадає з всім простором.
Якщо множина А щільна у всьому просторі, то будь-який елемент простору ми можемо як завгодно точно наблизити елементами множини А.
Метричний простір наз. сепарабельним, якщо він містить в собі зчисленну скрізь щільну підмножину.
Простір Rn – cепарабельний. Щільною підмножиною цього простору очевидно будуть все можливі набори n-раціональних чисел.
Будь-яку неперервну ф-цію f(x) на сегменті [а,b] можна як завгодно точно наблизити алгебраїчним многочленом виду: . Тобто . Щільною підмножиною у просторі С[a,b] буде множина алгебраїчних многочленів з раціональними коефіцієнтами. Ця множина зчисленна.
Для того, щоб множина Е була відкритою, необхідно і достатньо, щоб її доповнення було замкнутим.
Доведення. Необхідність. Дано множину Е, яка є відкритою, доведемо СЕ замкнена, тобто містить всі свої граничні точки. Нехай точка х – гранична точка доповнення. Доведемо, що вона належить доповненню. Ця точка не може належати множині Е, бо якби належала, то разом з деяким своїм околом (бо Е-відкрита). А цього бути не може, бо в будь-якому околі х має знаходитись нескінчена кількість точок доповнення до Е. Необхідність доведена.
Достатність. Дано, що СЕ – замкнене, доведемо, що Е-відкрита, тобто всі її точки внутрішні. Нехай x – деяка точка множини Е, вона не може бути граничною точкою доповнення, отже існує окіл, який не містить жодної точки доповнення, тоді цей окіл належить множині Е.