Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпори з вищої математики.doc
Скачиваний:
27
Добавлен:
07.09.2019
Размер:
2.47 Mб
Скачать
  1. Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку. Звязок з системою звичайних диференціальних рівнянь у симетричній формі.

Диференціальним рівнянням І порядку з частинними похідними наз. співвідношення, яке зв’язує між собою незалежні змінні, шукану функцію і похідні І порядку від шуканої функції. . (0)

Рівняння (0) наз. лінійним, якщо функція є лінійною по відношенню до шуканої функції та її частинних похідних.

Розв’язок відповідного однорідного рівняння (1) шукаємо, враховуючи існування незалежних інтегралів системи звичайних диференціальних рівнянь записаній в симетричній формі . (2)

Система (2) наз. відповідною однорідному рівнянню (1).

Коефіцієнти є визначеними і неперервними разом з похідними 1-го порядку по змінних і одночасно нулю в околі деякої точки .

Наприклад, нехай , тоді як відомо з курсу диф. рівнянь система (2) має єдиний розв’язок і для даної системи існують незалежних інтегралів.

Дійсно, систему (2) можна переписати у нормальній формі:

Відмітимо, що кожний інтеграл системи (2) є розв’язком рівняння (1) і

навпаки кожний розв’язок рівняння (1) є інтегралом системи (2).

……….. Дійсно, нехай - інтеграл системи (2). Тоді повний

диференціал даного виразу дорівнює . Поділимо на диференціал : . Враховуючи систему в нормальній формі:

. Домножимо рівняння на коефіцієнт : . Останній вираз – це однорідне ДРЧП І порядку для ф-ції , де - розв’язок.

Якщо відомо незалежних інтегралів системи (2), то загальний розв’язок однорідного рівняння записується у вигляді: , де - незалежні інтеграли, ф - ція - довільна ф-ція, неперервна разом з похідними 1-го порядку.

Лінійне неоднорідне рівняння в загальному має вигляд:

(3)

Розв’язок р-ня (3) шукаємо в неявній формі , де

, . Виразимо і підставляємо в р-ня (3), помножимо на , поміняємо знак. Отримаємо: .

Останній вираз є однорідним диференціальним рівнянням відносно функції . Система в симетричній формі: . Така симетрична система повинна мати - незалежних інтегралів . А далі все як для однорідної системи.

- загальний розв’язок для неоднорідного рівняння.

  1. Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними іі порядку для випадку двох і багатьох незалежних змінних.

Диференціальним рівнянням з частинними похідними ІІ порядку наз. співвідношення, що зв’язує невідому ф-цію, похідні від шуканої ф-ції до ІІ порядку включно.

Наприклад, для випадку двох просторових змінних лінійного рівняння двох змінних має вигляд (1), . Підберемо нові змінні так, щоб рівняння (1) набувало більш простої форми: , . Знайдемо запис рівняння (1) в нових змінних

.

,

,

,

,

.

Очевидно, що нові змінні є лінійними функціями , то другі похідні ( ) дорівнюють нулю. Підставляючи значення в рівняння (1) отримаємо:

(2). Очевидно, що рівняння набуває більш простої форми, якщо один із коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю. Наприклад, . .

Останнє рівняння є рівнянням з частинними похідними І порядку відносно ф-ції

. Це квадратне рівняння відносно :

, , ,

, - звичайні диференціальні рівняння.

Розв’язки останнього рівняння залежать від знака підкореневого виразу . У зв’язку з цим вводиться класифікація рівнянь з частинними похідними ІІ порядку.

наз. дискримінантом рівняння (1).

Якщо , то рівняння (1) наз. рівнянням гіперболічного типу. Має дві дійсних характеристики (розв’язки), канонічна форма: , де

Якщо , то рівняння (1) наз. рівнянням параболічного типу. Має одну дійсну характеристику, канонічна форма: , де

Якщо , то рівняння (1) наз. рівнянням еліптичного типу. Має дві комплексно-спряжені характеристики, канонічна форма (заміна ):

Розглянемо рівняння з частинними похідними ІІ порядку для випадку багатьох змінних , (4) - відомі задані ф-ції, - шукана ф-ція.

Фіксуємо деяку точку області і в даній точці для рівняння (4) складаємо наступну квадратичну форму: (5).

Якщо при зведенні квадратичної форми (5) до суми квадратів лише один коефіцієнт відрізняється знаком від інших, то рівняння (4) в даній точці є рівнянням гіперболічного типу.

Якщо при зведенні квадратичної форми (5) до суми квадратів існує більше одного додатного коефіцієнта і більше одного від’ємного коефіцієнта, то рівняння (4) в даній точці є рівнянням ультрагіперболічного типу.

Якщо при зведенні квадратичної форми (5) до суми квадратів один коефіцієнт рівний нулю, а всі решта мають один знак і відмінні від нуля, то рівняння (4) в даній точці є рівнянням параболічного типу.

Якщо при зведенні квадратичної форми (5) до суми квадратів всі коефіцієнти відмінні від нуля і є одного знаку, то рівняння (4) в даній точці є рівнянням еліптичного типу.

  1. Метод характеристик. Розвязок мішаної задачі для рівняння гіперболічного типу. Формула Даламбера. Фізична інтерпретація розвязку.

  1. Загальна схема методу Фурє. Крайова задача Штурма-Ліувіля на знаходження власних значень, власних функцій. Теорема Стеклова.

  2. Поняття потенціалу як безрoзмірної узагальненої величини кількісної взаємодії між обєктами (рівняння Лапласа, Пуассона). Моделювання стаціонарних процесів за допомогою рівнянь еліптичного типу.

  3. Топологічні простори. Підпростір топологічного простору.

Топологія вивчає властивості геометр. фігур, інваріантні щодо всіх взаємнооднозначних і взаємнонеперервних відображень. Якщо, наприклад, мова іде про поверхню, реалізовану у вигляді гнучкої і розтяжної плівки, то її взаємнооднозначними і взаємнонеперервними перетвореннями (відображеннями на себе) будуть її розтяг і стиск без розривів і склеювань. Фундаментальним поняттям топології є поняття топологічного простору, який вводиться таким чином.

Множина R, елементи якої наз. точками, наз. топологічним простором, якщо в ній задано сімейство Ф = { } її підмножин , які наз. відкритими множинами, і притому так, що виконуються наступні аксіоми.

I. Об'єднання будь-якої кількості (скінченної або нескінченної) відкритих множин є відкрита множина.

II. Перетин будь-яких двох відкритих множин є відкрита множина.

ІІІ. Порожня множина і вся множина R є відкритими множинами.

Вважаємо, що сімейство Ф = { } є топологічною структурою на R, або просто топологією. Таким чином, топологічний простір є пара, яка складається із множини R і введеної на ній топологічної структури Ф. Топологічний простір позначається через (R, Ф) і лише в тих випадках, коли ясно, про яку топологічну структуру Ф йде мова, топологічний простір (R, Ф) позначається просто через R.

З аксіоми II , що перетин скінченного числа відкритих множин є відкрита множина.

Приклади топологічних просторів.

1. У довільній нескінченній множині R відкритими множинами вважатимемо тільки дві множини—порожню множину і саму множину R. Така топологія наз. тривіальною.

2. Нехай R—довільна множина. Відкритими множинами вважатимемо всі підмножини множини R, включаючи порожню множину. Така топологія наз. дискретною.

Околом точки а топологічного простору R наз. будь-яку відкриту множину U R, що містить точку а.

Нехай R — топологічний простір, а М — довільна множина точок цього простору. Т. а М наз. внутріш. точкою множини М, якщо існує такий окіл U точки а, що U М.

Теорема: Всі точки відкритої множини є внутрішніми точками. Навпаки, якщо всі точки множини F R топологічного простору (R, Ф) внутрішні, то множина F є відкритою. Довед.

1-а част. Дано: множина відкрита. Довед. що всі точки внутрішні. Справді, для кожної точки даної множини існує окіл, який належить множині . Отже, точки внутрішні.

2-а част. Дано: всі точки множини внутрішні. Доведемо, що множина відкрита. Оскільки всі точки множини F внутрішні, то для будь-якої точки а цієї множини існує такий окіл U , що U F. Легко побачити, що F = Ua. Згідно аксіоми І, F—відкрита множина.

Покажемо, що будь-яка підмножина топологічного простору може бути розглянута як топологічний простір. Справді, нехай (R, Ф) топологічний простір, а М підмножина множини R.

Відкритою множиною в М наз. будь-яку її підмножину виду F' =М F , де F' –будь-який елемент сімейства Ф. Легко переконатися в тому, що при цьому означенні виконуються всі аксіоми I–III топологічного простору, тому ми говоритимемо, що на множині М індукується (породжується) топологічна структура Ф'={ F' }.

Топологічний простір (М,Ф') наз. підпростором топологічного простору (R, Ф).