- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача оптимального
- •2.3. О возможности решения задач оптимального
- •2.4. Принцип максимума Понтрягина в линейной
- •2.5. Быстрейшая остановка движущейся точки в заданном месте
- •2.5.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе
- •2.5.2. Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения.
- •2.6. Приведение маятника в верхнее положение равновесия
- •2.6.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе дифференциальных уравнений
- •2.6.2. Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения Сопряженная система
- •2.6.3. Синтез оптимальной траектории
- •Контрольные вопросы
2.6. Приведение маятника в верхнее положение равновесия
Математический маятник – груз малых размеров с массой на невесомом стержне длиной находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Требуется под действием ограниченной по величине силы, направленной перпендикулярно к оси маятника, за кратчайшее время привести маятник в положение равновесия с нулевой скоростью (трением пренебрегаем).
Обозначим угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени , отсчитываемый в направлении против часовой стрелки.
|
Управление движением начинается в момент времени при отклонении , когда скорость отклонения , и должно закончиться за наименьшее время при отклонении и скорости отклонения . |
Управлением является сила , крайние значения и означают включение двигателя на полную мощность в положительном и отрицательном направлении отклонения соответственно.
Составим уравнение движения маятника. Движение маятника по окружности происходит под действием силы (составляющая силы тяжести в направлении касательной) и управления с линейным ускорением . По второму закону Ньютона
.
Это – нелинейное (из-за ) дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией . Ограничиваясь положениями маятника, достаточно близкими к положению равновесия, мы можем заменить на (так как при малых ). Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
.
Для упрощения вычислений будем считать, что . Тогда имеем уравнение движения
(1)
с краевыми условиями
2.6.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе дифференциальных уравнений
Как и в п.2.5.1, перейдем к нормальной системе заменой . Получим линейную стационарную задачу оптимального быстродействия
или
где , , .
Кроме ограничения на управление , в этой задаче имеется фазовое ограничение , где некоторое множество на фазовой плоскости (например, первая координата ограничена некоторым отрезком , в пределах которого считаем ). Но можно доказать, что принцип максимума Понтрягина остается в силе и в этом случае.
2.6.2. Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения Сопряженная система
имеет общее решение
где – постоянный вектор. Функция Понтрягина имеет вид
При фиксированном , если или , то функция Понтрягина имеет максимальное значение, если взять или соответственно. Таким образом, функция управления , доставляющая максимум функции Понтрягина, имеет только два значения и , и переключение этих значений происходит в единственной точке , в которой .
При таком выборе функции будет автоматически при всех , кроме упомянутого исключительного значения.
Найдем фазовые траектории под управлениями и .
При система (1) имеет вид
(2)
Ее общее решение
(3)
где – произвольные постоянные. Исключив отсюда , получим
– семейство равнобочных гипербол с центром и асимптотами и . Из равенства (в системе (2)) видно, что если то а если то . Это значит, что с возрастанием времени в верхней полуплоскости (где ) движение происходит слева направо ( возрастает), а в нижней полуплоскости ( ) движение справа налево ( убывает). |
|
Аналогично при из системы получаем
(4)
семейство равнобочных гипербол с центром и с асимптотами и . Как и в случае при и при : в верхней полуплоскости движение происходит слева направо, в нижней полуплоскости – справа налево. |
|
Движение фазовой точки к пункту назначения происходит слева направо по верхней части левой ветви гиперболы семейства (3) с уравнением
(5)
и справа налево по нижней части правой ветви гиперболы семейства (4) с уравнением
. (6)
Линия переключения имеет уравнения
(7)