2.2. Линейная стационарная задача оптимального

быстродействия

Система дифференциальных уравнений называется стационарной (или автономной), если она не содержит явно время :

(1)

(время скрыто в функциях и ). В этом случае скорость в точке не зависит от времени. Поэтому, отправляясь из этой точки в разные моменты времени и , за один и тот же промежуток времени точка опишет одну и ту же траекторию и попадет в одну и ту же точку (так ведут себя, например, частицы жидкости при установившемся течении).

Мы рассматриваем линейную систему (1) (первой степени относительно переменных ):

,

где известная постоянная - матрица,

известная постоянная - матрица (матрица управления).

Таким образом, мы рассматриваем линейную стационарную задачу без фазового ограничения ( )

(2)

где искомая -мерная вектор-функция, непрерывная с кусочно-непрерывной производной, -мерное кусочно-непрерывное управление.

Сформулируем без доказательства критерий управляемости системы (2).

2.2.1. Теорема (критерий Калмана)

Линейная стационарная система (2) управляема (т.е. найдется допустимое управление , переводящее объект (2) из состояния в состояние при любых ) тогда и только тогда, когда

.

Под матрицей понимается матрица, полученная приписыванием справа к матрице элементов матрицы (с сохранением порядка элементов), затем элементов матрицы и т.д.

Пример. Проверим управляемость системы

.

Здесь ,

, .

Составим матрицу :

, ,

Система управляема.

Задача оптимального быстродействия состоит в следующем. Пусть в фиксированный начальный момент времени объект находится в состоянии . Надо подобрать допустимое управление , переводящее его в заданное состояние за кратчайшее время: если – конечный (не фиксированный) момент времени, т.е. , то промежуток времени должен быть минимальным. Ясно, что за критерий качества следует взять интегральный критерий

с подынтегральной функцией : -

критерий оптимального быстродействия.

Таким образом, линейная стационарная задача оптимального быстродействия имеет вид

 .

2.3. О возможности решения задач оптимального

управления с помощью вариационного исчисления

В некоторых случаях задачи оптимального управления можно решать методами вариационного исчисления.

Рассмотрим задачу

(1)

(2)

(3)

(4)

где , управление скалярная функция, непрерывная на отрезке , , где функции и непрерывны как функции четырех переменных и непрерывно дифференцируемы как функции двух фазовых переменных , дважды непрерывно дифференцируема как функция четырех переменных , и данные скалярные функции, непрерывные на , конец отрезка фиксирован, конец не фиксирован: правые концы графиков функций и скользят по прямым и .

Без ограничения (4) на управление эта задача представляет собой задачу Лагранжа на условный экстремум при уравнениях связи (1). Заметим, что интеграл функционала (3)

не зависит от производных искомых функций (задача Лагранжа в форме Понтрягина).

Пусть из системы уравнений Эйлера-Пуассона

(5)

где функция Лагранжа, множители Лагранжа, с учетом краевых условий (2) найдены одна или несколько экстремалей .

Можно доказать, что если экстремум функционала имеется, то он достигается на функции , где управление - непрерывная функция, график которой составлен из кусков графиков функций (или некоторых из них), содержащихся

между графиками и , и кусков графиков функций и - границ множества допустимых значений управлений. В каких точках стыкуются куски, можно найти. В этом случае управление является оптимальным, а функция дает соответствующую оптимальную траекторию.

В рассмотренной задаче управление было непрерывным. Однако в большинстве задач оптимального управления оно бывает разрывным (кусочно-непрерывным) и потому применение методов вариационного исчисления затруднено.

Возьмем, например, линейную стационарную задачу оптимального быстродействия (п. 2.2):

, , (6)

(здесь ). Оказывается, что в классе непрерывных управлений эта задача, вообще говоря, неразрешима.

Действительно, попытаемся ее решить рассмотренным только что способом. Функция Лагранжа имеет вид (здесь )

(7)

Если экстремаль существует, то она удовлетворяет системе уравнений Эйлера-Пуассона (5), которая в нашем случае имеет вид

где .

Продифференцируем по второе равенство:

. Исключим из равенств , умножив первое равенство справа на . Получили систему уравнений для и :

(8)

с матрицей . Ее ранг при транспонировании сохраняется. Транспонированная матрица имеет вид

.

Согласно критерию Калмана (теорема 2.2.1), система (6) управляема тогда и только тогда, когда . Следовательно, ранг матрицы системы (8) совпадает с числом неизвестных и потому однородная линейная система (8) имеет единственное (тривиальное) решение Но тогда функция Лагранжа (7) имеет вид , т.е. не учитывает уравнений связи (6). Однако данная задача без самой системы (6) бессодержательна. Можно доказать, что экстремалей не существует.

Если же экстремалей не существует, то оптимальным может быть только управление , график которого составлен из кусков графиков функций и (границ множества допустимых значений управлений). Но остается открытым вопрос, в каких точках

происходит переключение управления от значения к значению и наоборот. Управление может иметь разрывы.

Таким образом, рассмотренная задача неразрешима в классе непрерывных управлений.

В 1956г. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко предложили метод, который обобщил методы классического вариационного исчисления на случай кусочно-непрерывных управлений. В основу этого метода был положен так называемый принцип максимума. В общем случае он сложен. Мы познакомимся с ним в сравнительно простом случае линейной стационарной задачи оптимального быстродействия.