- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача оптимального
- •2.3. О возможности решения задач оптимального
- •2.4. Принцип максимума Понтрягина в линейной
- •2.5. Быстрейшая остановка движущейся точки в заданном месте
- •2.5.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе
- •2.5.2. Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения.
- •2.6. Приведение маятника в верхнее положение равновесия
- •2.6.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе дифференциальных уравнений
- •2.6.2. Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения Сопряженная система
- •2.6.3. Синтез оптимальной траектории
- •Контрольные вопросы
2.4. Принцип максимума Понтрягина в линейной
стационарной задаче оптимального управления
2.4.1. Определение. Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
где .
Однородная линейная система дифференциальных уравнений
(1)
где транспонированная матрица , называется сопряженной системой для данной системы .
Общее решение системы (1) содержит произвольных постоянных:
,
т.е. содержат произвольный постоянный n-мерный вектор .
2.4.2. Определение. Функция , где – общее решение сопряженной системы (1), матрица управления, управление, называется функцией Понтрягина.
При фиксированном значении момента времени и постоянного вектора значение функции Понтрягина зависит от значения управления в точке : при выборе разных значений управления в фиксированной точке функция Понтрягина принимает разные значения.
Формулируем без доказательства принцип максимума Понтрягина:
2.4.3. Теорема (принцип максимума Понтрягина)
Пусть на отрезке при некотором постоянном n-мерном векторе допустимые значения управления (т.е. ) выбраны так, что выполняется принцип максимума Понтрягина:
При каждом фиксированном , за исключением, может быть, конечного числа значений :
1) значение функции Понтрягина является максимальным среди значений , принимаемых при всех других допустимых значениях управления :
;
2) это максимальное значение положительно:
Тогда управление на является оптимальным по быстродействию.
Далее продемонстрируем применение этого принципа на двух простейших механических задачах.
2.5. Быстрейшая остановка движущейся точки в заданном месте
Пусть материальная точка с массой движется вдоль прямой под действием внешней силы – управления. Нужно быстрейшим образом остановить движение этой точки в заданном месте, которое мы примем за начало координат, с помощью ограниченной по величине силы.
Пусть координата точки в момент времени . Управление движением начинается в момент времени в точке со скоростью и должно закончиться за наименьшее время в точке со скоростью . Управлением является сила, ограниченная по величине: , так что область управления . Крайние значения и означают включение двигателя на полную мощность в отрицательном и положительном направлениях оси соответственно. При движении в положительном направлении оси скорость положительна: , а при движении в отрицательном направлении- отрицательна: .
Для простоты вычислений будем считать, что масса ед.
Ускорение движения создается управлением (силой) , и по второму закону Ньютона имеем уравнение движения
(1)
с краевыми условиями
2.5.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе
дифференциальных уравнений. Введем новые неизвестные функции и : , . Тогда уравнение движения (1) (уравнение 2-го порядка) сведется к нормальной линейной системе двух дифференциальных уравнений
с краевыми условиями .
Так как , то ,
а так как то ( скалярная функция: ).
Таким образом, имеем стационарную линейную задачу оптимального быстродействия
(2)
Фазовое ограничение отсутствует: допустимые фазовые состояния заполняют всю плоскость: На фазовой плоскости первая координата точки означает координату движущейся точки на оси , вторая координата скорость точки.