2.5.2. Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения.

Составим сопряженную систему

.

Ее общее решение т.е. , где произвольный постоянный вектор.

Составим функцию Понтрягина:

.

Пусть фиксировано. Если , то среди всех допустимых значений максимальное значение функции Понтрягина доставляет значение . Если , то функция получает максимальное значение при . Таким образом, при всех (за исключением значения , при котором ) функция управления , доставляющая максимум функции Понтрягина, принимает только два значения и .

Отметим, что условие 2 принципа Понтрягина при таком выборе значений автоматически выполняется:

(за исключением одного значения , при котором ).

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальные траектории можно получить только при значениях .

Пусть . Тогда система (2) имеет вид .

Ее общее решение

(3)

где произвольные постоянные (их обозначили в отличие от постоянных и в решении сопряженной системы. Кроме того, вместо записали , так как тоже произвольная постоянная, как и ). Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением . Исключая время , получим семейство парабол.

Из уравнения видно, что с увеличением времени ордината точки на параболе уменьшается. Следовательно, движение фазовой точки вдоль параболы происходит вниз.

Пусть . Тогда система (2) имеет вид . Её общее решение:

(4)

Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением . Исключая , получаем семейство парабол.

Из уравнения видим, что с возрастанием времени точка движется вдоль параболы вверх.

Семейства оптимальных траекторий (3) и (4) получены без учета краевых условий. Пока о роли этих семейств можно сказать следующее:

Если точки и лежат на одной из парабол, то именно кусок этой параболы, соединяющий точки и , является оптимальной траекторией (при совпадении направления): объект перейдет из фазового состояния в фазовое состояние за кратчайшее время именно по этой траектории.

Движение фазовой точки к пункту назначения происходит по верхней части параболы семейства (3) при :

по нижней части параболы семейства (4) при :

.

Линия , составленная из кусков парабол семейств (3) и (4), входящих в начало координат, называется линией переключения.

2.5.3. Синтез оптимальной траектории. Пусть точка лежит

выше линии переключения. Мы увидим, что оптимальной траекторией окажется траектория, составленная из куска одной из парабол семейств (3) или (4) и куска линии переключения. Двигаясь из точки по параболе семейства (4) не попадем ни в начало координат, ни на линию переключения.

Поэтому надо начать движение по параболе семейства (3), которая проходит через точку в момент .

В некоторый момент попадем в точку , где эта парабола пересекается с линией переключения. Затем, двигаясь с момента из точки по линии переключения, в момент попадем в точку . Полученная траектория и будет оптимальной. В самом деле, проверим выполнение теоремы 2.4.3. При , т.е. , выбрано управление , а при , т.е. , выбрано управление . Значит, на отрезке при постоянном векторе значения выбраны так, что при каждом фиксированном , кроме ,

1. значение функции Понтрягина

– максимальное среди значений, принимаемых этой функцией при всех .

2. выполняется автоматически, как отмечалось раньше.

Условия теоремы 2.4.3 выполнены. Поэтому, согласно принципу максимума Понтрягина, построенная траектория является оптимальной в смысле быстродействия, а соответствующее управление является оптимальным.

Аналогично строится оптимальное управление и оптимальная траектория в случае, когда точка находится ниже линии переключения (в этом случае постоянный вектор ). Если находится на линии переключения, то, очевидно, оптимальной траекторией является кусок самой линии переключения.

Пример 1.

(В момент точка проходит через положение влево со скоростью . Нужно остановить ее в положении ).

□ Пусть . Решаем систему

(5)

Это – семейство парабол .

Пусть , (6)

Линия переключения . Находим закон движения из точки с момента по параболе семейства (6):

полагая , находим

;

Закон движения . (7)

Это движение происходит по параболе . Найдем точку пересечения с линией переключения. Пересечение происходит при .

Поэтому решаем систему уравнений .

Находим момент попадания в эту точку , используя закон движения (7): .

Находим закон движения из точки с момента по линии переключения, полагая в (5) : :

. Закон движения .

Наконец, находим момент попадания в начало координат :

.

Итак, оптимальная траектория

. Оптимальное уравнение .

Судя по изображенной фазовой траектории, управление движением происходило так:

В момент точка проходила положение со скоростью двигаясь влево. Чтобы остановить ее, включили двигатель на полную мощность (по оси ). Точка остановилась в положении с нулевой скоростью. Под тем же управлением точка двигалась до положения , где имела уже положительную скорость к моменту В этот момент, чтобы точка, набирая положительную скорость, не перескочила начало координат, управление переключили на . Это управление затормозило точку и к моменту остановило ее в начале координат. ■

Пример 2. Положим в примере 1

□ Тогда точка находится на линии переключения. Закон движения из этой

точки с момента

Находим момент попадания в точку Оптимальная траектория , .

Оптимальное управление . ■