Занятие №5. Исследование математической модели дискретного канала связи

Теоретическая часть

Дискретный канал математически описан, если задан входной алфавит сигналов {S}={ S _k , K = 1… M } вместе с их априорными вероятностями {Р(S _k)} и выходной алфавит сигналов {S^*}={ S^*_k , K = 1. . . M +1 }, который в общем случае может содержать символ стирания Q и значения вероятностей переходов Р(S ^*_i / S _k), т. е. вероятностей того, что на выходе канала появится сигнал S ^*_i при условии, что на вход подан сигнал S _k.

Вероятностные характеристики канала задаются матрицами. Так априорные вероятности группируются в матрицу-строку априорных вероятностей

||P( S_k)||=|| P( S₁) P( S₂) . . . P( S_m) ||

Соответственно матрица переходных вероятностей выглядит:

Д ля канала без стирания матрица переходных вероятностей ïïP(S_i^*/ S_k)ïï - квадратная, размером М строк на М столбцов, так как все вероятности стирания символов { P(Q / S_k) } = 0.

По априорной матрице и матрице переходных вероятностей можно найти:

• матрицу-строку априорных вероятностей выходных сигналов

ïïP(s_i^*)ïï = ïïP( S_k)ïï* ïïP(S_i^*/ S_k)ïï;

• вероятность правильного приема

• вероятность ошибочного приема

• вероятность стирания сигнала

• элементы обратной матрицы

Пример. Сообщение передается двумя сигналами S₁(t) = 1.5 B, S₂ (t) = - 1.5 B с вероятностями P(S₁) = 0,25, P(S₂) = 0,75 соответственно. В канале действует флуктуационная помеха с уровнем спектральной плотности потока мощности помехи N₀ = 10^-4 Вт/Гц в полосе F_k = 10 кГц. Решение о сигнале S₁(t) принимается в случае х(t) = [S_i(t) + x(t)] > U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае х(t) = [S_i(t) + x(t)] < U_пор, U_пор = 0.5 B. Определить:

• Совместные законы распределения сигналов и помехи.

• Матрицу переходных вероятностей.

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей и вероятность ошибки.

Решение.

1. Найдем дисперсию помехи

D{x(t)} = N₀ F_k = 4 Bт s_x = [D{x(t)}] ^½ = 2 B

С учетом, что смесь сигнала и помехи аддитивна, закон распределения мгновенных значений соответствующих сигналов и помехи можно записать

2. Определим элементы матрицы переходных вероятностей, воспользовавшись таблицей табулированных интегралов.

Соответственно

Вычислим значения

Матрицу переходных вероятностей запишем в следующем виде

3. Элементы матрицы априорных вероятностей выходных сигналов можно найти

4. Для определения элементов матрицы обратных вероятностей воспользуемся формулой Байеса. Тогда

Соответственно матрица обратных вероятностей имеет вид

5. Вероятность ошибки определяется следующим образом

Задание

1. В канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем=0.49 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = -0.7B, S₂(t) = 0.7B [0 < t < T].с вероятностью P(S₁)=0,14 и P(S₂)=0,86 соответственно. Решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > U_пор, U_пор = 0,5 В. Определить:

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

2. В троичном канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем= 0.01 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = 1,5 B, S₂(t) = 1,0 B, S₃(t) = 0.5B с вероятностью P(S₁)= 0,3, P(S₂)=0,45 и P(S₃)=0,25 соответственно. Решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > 1,25 B. Решение о S₃(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < 0,75 B. Решение о S₂(t) принимается в случае 0,75 < Si(t) + x(t) < 1,25. Определить:

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

3. В двоичном канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем=4 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = 1.5B, S₂(t) = -1.5B [0 < t < T].с вероятностью P(S₁)=0,25 и P(S₂)=0,75 соответственно. Решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < 0.4 В, решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > 0.6 В. При попадании смеси S_i(t) + x(t) в интервал [0.4 B - 0.6 B] на выходе решающего устройства формируется символ стирания Q.Определить:

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

1. Матрица переходных вероятностей задана

Сигналы в канале появляются с вероятностями P(S₁)=0,35, P(S₂)=0,65. Решение о S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < U_пор,. U_пор = - 0,1 В. В канале действует флуктуационная помеха мощностью 4 Вт. Определить:

• Значение S₁(t) и S₂(t).

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

5. В двоичном канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем= 4 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = 0.8B, S₂(t) = -0.8B [0 < t < T].с вероятностью P(S₁)=0,9 и P(S₂)=0,1 соответственно. Решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < - 0.2 В, решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > 0.2 В. При попадании смеси S_i(t) + x(t) в интервал [-0.2 B 0.2 B] на выходе решающего устройства формируется символ стирания Q.Определить:

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Определить вероятность стирания.

• Вероятность ошибки.

2. Сообщение передается сигналами типа «посылка-пауза». Амплитуда посылки U_пос= =1В. Сигналы «посылка» и «пауза» равновероятны. В канале действует флуктуационная помеха с мощностью Р = 0.25 Вт. Определить:

• Порог решения U_пор , при котором двоичный канал симметричен.

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

6. Сообщение передается двумя сигналами S₁(t) = 0, 45 B, S₂ (t) = - 0, 45 B с вероятностями P(S₁) = 0,23, P(S₂) = 0,77 соответственно. В канале действует флуктуационная помеха с уровнем спектральной плотности потока мощности помехи N₀ = 0. 15 *10 ^-4 Вт/Гц в полосе F_k = 15 кГц. Решение о S₁(t) принимается в случае х(t) = [S_i(t) + x(t)] > U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае х(t) = [S_i(t) + x(t)] < U_пор, U_пор = 0 B. Определить:

• Совместные законы распределения сигналов и помехи.

• Матрицу переходных вероятностей.

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

7. В двоичном канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем= 4 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = 0.9B, S₂(t) = - 0.3B [0 < t < T].с вероятностью P(S₁)=0,48 и P(S₂)=0,52 соответственно. Решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < U_пор, Определить:

• Значение U_пор, при котором канал является симметричным.

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

8. В двоичном канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем= 9*10 ^-2 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = 0.25B, S₂(t) = - 0.15B [0 < t < T].с вероятностью P(S₁)=0,26 и P(S₂)=0,74 соответственно. Решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < U_пор, Показать, что вероятность ошибки в случае симметричного канала минимально возможна. Определить:

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

9. В двоичном канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем= 1 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = 1.B, S₂(t) = - 0.5B [0 < t < T].с вероятностью P(S₁)= 0,8 и P(S₂)= 0,2 соответственно. Решение о S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < U_пор, U_пор= 0.5 В. Определить:

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

10. В двоичном канале действует помеха с мощностью переменной составляющей Р_перем= 4 Вт. Сообщение передается сигналами S₁(t) = -1.B, S₂(t) = 0.5B [0 < t < T].с вероятностью P(S₁)= 0,8 и P(S₂)= 0,2. Решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > U_пор, U_пор= 0.5 В. Определить:

• Матрицу переходных вероятностей;

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

11. Матрица переходных вероятностей задана

Сигналы в канале появляются с вероятностями P(S₁)=0,25, P(S₂)=0,75. Решение о сигнале S₁(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) > U_пор, решение о сигнале S₂(t) принимается в случае x(t) = S_i(t) + x(t) < U_пор,. U_пор = 0,1 В. В канале действует флуктуационная помеха мощностью 4 Вт. Определить:

• Значение S₁(t) и S₂(t).

• Матрицу априорных вероятностей выходных сигналов.

• Матрицу обратных вероятностей.

• Вероятность ошибки.

Вопросы

1. Основные математические модели каналов связи.

2. Основные характеристики дискретных каналов связи.

3. Методика исследования основных характеристик каналов связи.