Модуль 2 Случайные величины

Задача 1. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Вычислите все вероятности р_к, к=0, 1, 2, …, п, где к – частота события А. Постройте график вероятностей р_к. Найдите наивероятнейшую частоту.

Значения параметров п и р вычислить по формулам:

7, V≤10,

п = 6, 10<V≤20, р = 0,3 + V/100.

5, V>20.

Задача 2. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найдите вероятность того, что событие А происходит:

а) точно М раз;

б) меньше чем М и больше чем Н раз;

в) больше чем М раз.

Значения параметров п, р, M и Н вычислить по формулам:

п = 700 + V·10; p = 0,35 + V/50;

M = 270 + V·10; H = М – 40 - V.

Задача 3. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью р. Найдите вероятность того, что среди п соединений имеет место:

а) точно G неправильных соединений;

б) меньше чем L неправильных соединений;

в) больше чем М неправильных соединений.

Значения параметров р, п, G, L и M вычислить по формулам:

р = 1/ (V·100 + 200); n = (остаток (V/7) + 1) · (V·100 + 200);

G = остаток (V/5) + 1; L = остаток (V/6) + 1;

М = остаток (V/8) + 1.

Задача 4. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найдите вероятность того, что относительная частота к/п этого события отличается по абсолютной величине от вероятности р не больше чем на:

а) ε₁>0;

б) ε₂>0.

Значения параметров п, р, ε₁ и ε₂ вычислить по формулам:

п = 600 - V·10; р = 0,85 - V/100;

ε₁= 0,0055 - V/10000; ε₂=2 ε₁.

Задача 5. Случайная величина Х задана рядом распределения

Х	х1	х2	х3	х4
р	р1	р2	р3	р4

Найдите функцию распределения F(x) случайной величины Х и постройте ее график. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Значения параметров х₁, х₂, х₃, х₄, р₁, р₂, р₃, р₄ вычислить по формулам:

R = остаток (V/4) + 2;

х₁ = V + 3, х₂ = х₁ + R, х₃ = х₂ + R, х₄ = х₃ + 2R;

р₁ = 1/(R+5), р₂=1/(R+3), р₃= (41+33R+R²-R³)/(R+3)(R+5)(8-R), р₄=1/(8-R).

Задача 6. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

0, х≤0,

f(x) = x/K, 0<x≤R,

0, x>R.

Найдите функцию распределения F(x) случайной величины Х. Постройте графики функций f(x) и F(x). Вычислите для Х математическое ожидание и дисперсию.

Значения параметров К и R вычислить по формулам:

К = 2 + V, R = .

Задача 7. Случайная величина Х задана функцией распределения

0, х≤0,

F(x) = x/K, 0<x≤K,

1, x>K.

Найдите функцию плотности вероятности f(x) случайной величины Х. Постройте графики функций f(x) и F(x). Вычислите для Х математическое ожидание и дисперсию.

Значения параметра К вычислить по формуле:

К = 3 + V.

Задача 8. Задана случайная величина X имеющая нормальное распределение с параметрами μ и σ. Найдите вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале [a,b];

б) меньшее К;

в) большее Н;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на ε.

Значения параметров μ, σ, а, b, К, Н и ε вычислить по формулам:

μ = V, σ = остаток(V/8) + 2, S = остаток(V/5) +1,

a = V – S, b = V + 2S, K = V – S, H = V + 2S, ε = S.