1.2. Построение математической модели в относительных показателях

При выполнении определенных условий экономическая система, поведение которой описывается моделью Солоу, может иметь так называемую стационарную траекторию. При этом стационарной траекторией называют такое поведение экономической системы, когда ее показатели не изменяются во времени.

Определим условия, выполнение которых приводит к неизменности относительных показателей экономической системы, описываемой моделью Солоу. Для этих целей введём относительные показатели:

а) - фондовооруженность труда;

б) - производительность труда;

в) - удельные инвестиции;

г) - среднедушевое потребление (на одного занятого).

С учетом введенных относительных показателей можно записать:

Пункт 1.

Пункт 2.

или, используя третье уравнение из системы (11), получим:

Разделим данное уравнение на L(t) и разрешим его относительно В этом случае будем иметь:

Пункт 3.

Пункт 4.

С учетом выведенных в пунктах 1-4 уравнений модель Солоу в относительных показателях можно записать в виде следующей системы уравнений:

(12)

Если установить неизменными во времени показатели:

то экономическая система будет находиться на стационарной траектории.

1.3. Определение стационарной траектории

Как видно из системы уравнений (12), выход на стационарную траекторию можно обеспечить путем установления фондовооруженности труда на постоянном уровне, т.е. при соблюдении условия, что

В этом случае и, следовательно

(13)

Выражение (13) можно переписать в следующем виде:

(14)

Учитывая, что Х(t) = F [К(t), L(t)] является неоклассической функцией, то f(0)=0, f’>0, f”<0. Если дополнительно задать условие, что

(15)

то уравнение (14) будет иметь единственное ненулевое решение Данное положение показано на рис. 2

h

h₂(k)=(1-a)fk

h₁(k)=k

(k)

k^

k⁰

0

Рис. 2

Одинаковая скорость роста функций и как показано на рис. 2, достигается при и, следовательно, значение являет­ся корнем уравнения:

(16)

Таким образом, решив уравнение (16), можно найти численное значение . Соотношение между величиной и оказывает существенное влияние на вид переходных процессов в модели Солоу.

Если в начальный момент времени t=0 экономическая система имеет фондовооруженность то она уже находится на стационарной траектории. В этом случае данную систему перевести в другое состояние можно только путем изменения значения одного из экзогенных показателей, например доли валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте или, изменив производственную функцию, X(t)=F[K(t), L(t)].

В случае если то в экономической системе происходит переходный процесс с выходом на стационарную траекторию, т.е. При этом наблюдаются три типа переходных процессов. Рассмотрим их применительно к изменению фондовооруженности труда во времени:

• если k^ то сначала происходит ускоренный рост фондовооруженности труда k(t), а затем, после достижения равенства k(t)=k^ сменяется замедленным ростом данного показателя, с постепенным приближением к величине ;

• если k^ то наблюдается замедленный рост фондовооруженности труда k(t) к величине ;

• если то происходит замедленное снижение фондовооруженности труда к величине

Аналогичным образом изменяются и остальные относительные показатели в модели Солоу, т.к. они связаны с фондовооруженностью труда.