1. Постановка задачи

1.1. Постановка задач и построение математической модели в абсолютных показателях

Сформулированная Солоу в середине прошлого века концепция экономического роста привела к замене кейнсианской модели динамического развития экономики Харрода-Домара неоклассической теорией роста. При этом в исходной модели Солоу экономическая система рассматривается как единое целое, в которой производится один универсальный продукт. Этот продукт может потребляться и инвестироваться. Экспорт-импорт в явном виде не учитывается. Состояние экономической системы задается следующими эндогенными переменными:

1. Х(t) – выпуск товаров и услуг;

2. С(t) - фонд непроизводственного потребления;

3. I(t) - валовые инвестиции в производственный капитал;

4. L(t) - число занятых в производственной деятельности;

5. К(t) - основные производственные фонды.

Время t измеряется в годах и считается непрерывным.

Кроме того, состояние экономической системы определяется экзогенными (заданными извне) показателями:

а) g - годовой темп прироста числа занятых в производственной деятельности;

б) m - доля основных производственных фондов, выбывших за один год;

в) а - доля промежуточного продукта в выпуске товаров и услуг;

г) - доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте (норма накопления).

Данные экзогенные показатели могут изменяться в следующих пределах:

-1<g<1; 0<m<1; 0<a<1; 0< <1.

Годовой выпуск товаров и услуг Х(t) в каждый момент времени t связан с ресурсами К(t) и L(t) посредством линейно-однородной неоклассической производственной функции:

X(t) = F[K(t), L(t)]. (1)

Сами ресурсные показатели, являясь эндогенными показателями, изменяются за небольшой промежуток времени следующим образом:

1. В соответствии с определением темп прироста числа занятых в производственной деятельности будет равен:

 (2)

Разделив уравнение (2) на и умножив его на L(t), при получим:

, (3)

или, при записи в стандартном виде:

. (4)

Решение данного однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид:

L(t) = A*e^{g t} (5)

Используя начальное условие L(0)=L0, получим:

L(t) = L₀*e^{g t} (6)

2. Прирост основных производственных фондов за промежуток времени с учетом инвестиций и выбытия фондов за счет износа составит:

. (7)

Если разделить уравнение (7) на при получим дифференциальное уравнение вида:

при K(0) = K₀ (8)

3. Функцию изменения валовых инвестиций во времени можно получить следующим образом:

(9)

где Y(t) - текущее значение валового внутреннего продукта, а Z(t) = a∙X(t) - величина промежуточного продукта.

4. Величина фонда непроизводственного потребления, исходя из (9), находится по формуле:

(10)

Таким образом, получаем модель Солоу в абсолютных величинах в виде системы уравнений:

(11)

Схема функционирования экономики для этого случая представлена на рисунке 1

Данная схема наглядно представляет взаимосвязь абсолютных показателей в экономической системе согласно модели Солоу.