2. Момент импульса. Запишем второй закон Ньютона для вращательного движения твердого тела:

Угловое ускорение – это скорость изменения угловой скорости: . Значит:

Если момент инерции теле не изменяется, то это выражение можно записать в виде:

Второй закон Ньютона для поступательного движения тела можно записать в виде:

Где – импульс тела. Если продолжать аналогию между поступательным и вращательным движением, то величину MΔt следует назвать импульсом момента силы, а импульсу тела поставить в соответствие величину Jω. Величина

называется моментом импульса. Момент импульса материальной точки при ее движении по окружности равен:

Значит, для вращательного движения второй закон Ньютона может быть записан в виде:

Закон сохранения момента импульса.

Изменение момента импульса тела равно импульсу действующих на него сил. Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса тела или системы тел должен сохраняться. Этот факт называется законом сохранения момента импульса.

Кинетическая энергия вращательного движения.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна

Аналогия характеристик поступательного и вращательного движения

Между поступательным и вращательным движениями можно провести аналогию. В частности, кинематическим характеристикам поступательного движения можно привести в соответствие характеристики вращательного движения. Так аналогом перемещения для поступательного движения служит угол поворота, аналогом скорости служит угловая скорость, а аналогом ускорения служит угловое ускорение. Можно пойти еще дальше и привести в соответствие динамические и энергетические характеристики поступательного и вращательного движений. Так хорошим аналогом силы при поступательном движении может служить момент силы для вращательного движения. Тогда аналогом массы при вращательном движении должна служить величина . Обозначим эту величину буквой J. Величина

называется моментом инерции. При этом второй закон Ньютона для движения материальной точки по окружности выглядит так:

Это уравнение по виду и по смыслу полностью соответствует второму закону Ньютона для поступательного движения материальной точки.

Теперь перейдем к вращательному движению твердого тела. Пусть имеется твердое тело, способное свободно вращаться вокруг некоторой оси. Разобьем тело (мысленно) на очень большое количество очень маленьких элементов, каждый из которых можно было бы считать материальной точкой. Пусть элемент массой m_i находится на расстоянии R_i от оси вращения. Тогда его момент инерции равен . Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма моментов инерции всех составляющих его элементов:

В этом случае второй закон Ньютона для вращения твердого тела также записывается в виде (*), где М – алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно данной оси.

Билет 12

1. Деформации тел. Сила упругости возникает при деформации тел под действием внешней силы. Деформацией тела называется изменение его формы и размеров. При действии на тело некоторой внешней силы тело деформируется. В результате этого в теле возникают внутренние силы, стремящиеся вернуть телу прежнюю форму. Равнодействующая этих сил направлена противоположно внешней силе и называется силой упругости.

Сила упругости. Мы в дальнейшем будем рассматривать только упругие деформации. Экспериментально установлено, что для упругой деформации возникающая сила упругости прямо пропорциональна величине деформации. Рассмотрим прямой стержень. Пусть начальная длина стержня равна l₀. Если стержень сжать внешней силой, то его длина уменьшится и станет равна l. Опыт показывает, что возникающая при этом сила упругости прямо пропорциональна величине деформации . То есть можно написать: , где k – коэффициент пропорциональности. При растяжении стержня на Δl тоже возникает сила упругости. Причем в пределах упругой деформации силы упругости, возникающие при растяжении и сжатии стержня на Δl одинаковые. Поэтому для деформаций сжатия – растяжения можем написать:

Где - деформация. Записанное выражение называется законом Гука. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом жесткости или просто жесткостью. Единицей измерения жесткости является [Н/м]. Закон Гука можно записывать при деформации пружин, при растяжении резинки и так далее. Закон Гука можно записать в векторном виде:

Здесь - перемещение точки приложения силы в результате деформации. Знак минус означает, что сила упругости всегда направлена в сторону противоположную направлению деформации тела.

Упругие и неупругие деформации. Деформации бывают обратимыми и необратимыми или, что то же самое, упругими и пластическими. Деформация называется упругой или обратимой, если она полностью исчезает после снятия внешней нагрузки и тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму. Если после снятия внешней нагрузки остается остаточная деформация, то она называется пластической или неупругой.

Диаграмма напряжений.

Закон Гука.

Механическое напряжение и относительная деформация.

Модуль Юнга.

2. Идеальная жидкость. Гидростатика – раздел механики, в котором рассматриваются жидкости и погруженные в них тела, находящиеся в состоянии равновесия. Мы в дальнейшем будем рассматривать так называемую идеальную жидкость. Идеальной жидкостью называется несжимаемая и невязкая жидкость.

С илы, с которыми отдельные части жидкости действуют друг на друга и на стенки сосуда, аналогичны силам упругости, возникающим в твердых телах. Если в сжатой жидкости мысленно выделить какой-либо объем, то на него со стороны окружающей жидкости будут действовать силы упругости, зависящие от степени сжатия жидкости. Соответственно жидкость в выделенном объеме действует на окружающую жидкость. Причем силы упругости, возникающие в жидкости и в газе, всегда обусловлены только деформацией сжатия. Поэтому сила, действующая со стороны жидкости на любую выделенную поверхность внутри жидкости (или газа), а также на поверхность твердого тела всегда направлена перпендикулярно (нормально) к поверхности. Сил упругости, направленных по касательной к поверхности внутри идеальной жидкости нет.

Давление. Упругие напряжения внутри жидкости называются давлением. Если на поверхность площадью S со стороны жидкости действует сила давления F, то давлением называется отношение силы к площади поверхности:

Давление – величина скалярная. Единицей измерения давления в системе СИ является паскаль - [Па] = [Н/м²].

Далее рассмотрим следствия из закона Паскаля.

Закон Паскаля. Основным законом гидростатики является закон Паскаля: давление внутри неподвижной жидкости передается одинаково во всех направлениях. То есть сила давления, действующая на небольшую площадку, находящуюся внутри жидкости, не зависит от пространственной ориентации площадки. Причем давление может быть обусловлено как силой тяжести самой жидкости, так и внешними силами, действующими на жидкость (например, атмосферное давление).

Гидростатическое давление.

П усть однородная жидкость плотностью ρ находится в однородном поле тяжести. Выделим в жидкости тонкий вертикальный цилиндрический объем высотой h. На этот выделенный объем жидкости действуют: сила тяжести и силы давления со стороны окружающей жидкости. Силы давления окружающей жидкости на боковую поверхность цилиндра действуют со всех сторон одинаково и полностью друг друга компенсируют. Поэтому мы их далее рассматривать не будем. Остаются три силы: сила тяжести mg, сила давления на верхнее основание цилиндра F₁ и сила давления на нижнее основание цилиндра F₂. Так как выделенный объем жидкости находится в равновесии, то можно написать:

Если площадь сечения цилиндра равна S, то , , . Где ρ – плотность жидкости, Р₁ и Р₂ – давление жидкости на верхнее и нижнее основания цилиндра. В результате получаем:

Полученная формула называется формулой для гидростатического давления. Гидростатическое давление создается самой жидкостью в результате действия на нее силы тяжести. Если имеется свободная поверхность жидкости, давление на которой равно Р₀ (чаще всего, атмосферное давление), то давление жидкости на глубине h равно:

Р ассмотрим теперь свободную поверхность неподвижной жидкости. Выделим тонкий плоский приповерхностный элемент жидкости. На этот элемент действуют: сила тяжести mg и сила давления со стороны нижележащей жидкости F. Так как выделенный элемент находится в покое, то эти две силы должны компенсировать друг друга. Но сила давления направлена перпендикулярно нижней поверхности элемента. Значит и сила тяжести должна быть направлена перпендикулярно поверхности жидкости. Получается, что свободная поверхность неподвижной жидкости располагается всегда перпендикулярно направлению действия силы тяжести.

Р ассмотрим неподвижную жидкость и две точки внутри жидкости А и В, находящиеся на одном горизонтальном уровне. Выделим в жидкости узкий цилиндрический объем, ось которого совпадает с прямой АВ, а торцевые поверхности перпендикулярны АВ. В горизонтальном направлении на выделенный цилиндр действуют только силы давления на торцевые поверхности: P_AS и P_BS, где Р_А и Р_В – давление жидкости в точках А и В. Так как выделенный объем находится в равновесии, то эти силы должны друг друга уравновешивать. Значит давление в точках А и В должно быть одинаковым. Можно сделать вывод: давление в однородной жидкости во всех точках, находящихся на одном горизонтальном уровне, одинаково.

Одним из известных следствий данного положения является то, что верхние уровни однородной жидкости в сообщающихся сосудах находятся на одинаковой высоте.

Гидравлический пресс.

Сообщающиеся сосуды.