Билет 1

1. Механическое движение. Механическим движением называется изменение положения тела в пространстве с течением времени.

Материальная точка. При движении тела часто его размерами и формой можно пренебречь. В этом случае реальное тело обозначают просто точкой и называют материальной точкой. Материальной точкой можно считать тело в случае, если его размеры значительно меньше расстояний до других тел и расстояния, проходимого самим телом. Материальной точкой можно считать тело, даже если его размеры и не малы, но если они не имеют никакого физического значения в данной задаче и тело движется поступательно. Движение реального тела может быть как поступательным, так и вращательным. Материальная точка может двигаться только поступательно.

Система отсчета. Для описания механического движения в первую очередь требуется устройство, фиксирующее темп течения времени и измеряющее промежутки времени. То есть требуются часы. В ту же первую очередь требуется определять изменение положения тела, то есть нужно уметь фиксировать положение тела в каждый момент времени. Положение тел обычно определяется относительно каких-либо других тел. Поэтому для задания положения тела в пространстве требуется иметь несколько опорных тел или хотя бы одно тело, которые называются телами отсчета. Наличие часов и тела отсчета формально достаточно для описания механического движения. Совокупность часов и тела отсчета называется системой отсчета. Поэтому говорят, что для описания механического движения необходимо иметь систему отсчета.

Траектория движения. Это линия, вдоль которой движется тело

Путь и перемещение. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Определяемое таким образом пройденное расстояние называется перемещением. Причем, перемещение – векторная величина. Перемещением - Δr - называется вектор, начало которого совпадает с начальным положением тела (точка А), а конец - с конечным положением (точка В). Однако, тело из начальной точки в конечную перемещалось не обязательно по прямолинейной траектории. Поэтому существует еще одна величина, характеризующая величину изменения положения тела – путь. Пройденным путем - S - называется длина траектории перемещения тела. Путь – скалярная и всегда положительная величина. Причем путь всегда больше или равен модуля вектора перемещения. Так если в результате движения тело вернулось в исходное положение, то есть точки А и В совпадают, то перемещение тела равно нулю, а путь больше нуля.

Скалярные и векторные характеристики движения. В физике имеются многие величины, для знания которых недостаточно знать, чему равна эта величина. Рассмотрим простую задачу. Пусть идет пешеход с постоянной скоростью 5 км/ч. Известно, что в 12 часов дня он находился в пункте А. Требуется определить, где будет находиться пешеход в 14 часов. Зная только величину скорости пешехода, мы можем только сказать, что в 14 часов он будет находиться на расстоянии 10 км от пункта А. Но все возможные точки нахождения пешехода будут находиться на окружности радиусом 10 км с центром в точке А. Для определения точного положения пешехода нам нужно еще знать в какую сторону он идет. Значит, для практических целей нам недостаточно знать величину скорости тела. Требуется еще знать, куда эта скорость направлена. Имеется еще очень много физических величин, для характеристики которых требуется знание, как размера этой величины так и ее направления.

Физические величины, характеризуемые размером величины и ее направлением, называются векторными. Размер векторной величины чаще называется ее модулем. В отличие от векторных, величины, характеризующиеся только своим значением, называются скалярными. Значение скалярной величины иногда может иметь знак. При этом говорят, что скалярная величина характеризуется своим значением (которое тоже часто называется модулем) и знаком. При этом имеются скалярные величины, которые по своему физическому смыслу не могут принимать отрицательные значения (например, масса или пройденный путь). А некоторые скалярные величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Заметим, что векторные величины знаком не характеризуются, то есть не бывает отрицательных векторов.

Векторные величины можно складывать, вычитать, умножать на скаляр, скалярно умножать друг на друга.

Скорость. Скорость – это величина характеризующая быстроту изменения положения тела.

Средняя скорость. Пусть за некоторый промежуток времени Δt тело переместилось из некоторого начального положения 1 в некоторое конечное положение 2. Если перемещение тела из положение 1 в положение 2 равно Δr, то величина

называется средней скоростью перемещения. В системе СИ единицей измерения перемещения является метр [м], а единицей измерения времени является секунда [с]. Поэтому единицей измерения скорости в системе СИ является [м/с]. Средняя скорость перемещения - векторная величина.

Если путь, пройденный телом при перемещении из начальной точки 1 в конечную точку 2 равен S, то величина

называется средней скоростью движения или средней путевой скоростью. Средняя скорость движения – величина скалярная.

Средняя скорость дает представление о том, как быстро изменилось положение тела за весь промежуток времени Δt, однако ничего не говорит о скорости движения тела в каждый момент времени внутри этого промежутка. Для более детального определения скорости имеется понятие о так называемой мгновенной скорости. Мгновенной скоростью называется средняя скорость перемещения, определяемая на очень маленьком, в пределе на бесконечно маленьком, промежутке времени. Математически это записывается следующим образом:

Мгновенная скорость – векторная величина.

Как и любой вектор, вектор скорости можно спроектировать на оси системы координат. Так проекции вектора средней скорости перемещения и мгновенной скорости на ось Х определяются так:

;

Равномерное движение. Для начала рассмотрим простейшие типы поступательного движения. Самым простым типом поступательного движения является равномерное движение. Равномерным называется движение с постоянной скоростью. Часто дают другое определение: равномерным называется движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения. Если учесть, что скорость – величина векторная и постоянство скорости подразумевает ее постоянство как по величине, так и по направлению, то понятно, что эти два определения полностью эквивалентны. Следует заметить, что равномерное движение всегда является прямолинейным.

Так как при равномерном движении скорость постоянна, то понятия мгновенной скорости и средней скорости перемещения полностью совпадают. То есть скорость, определяемая выражением , является также и мгновенной скоростью. Пусть в начальный момент времени t₀ положение тела определялось радиус-вектором r₀, а в некоторый последующий момент t радиус-вектор тела равен r. Тогда можно написать: , а . Значит

или

Эта формула определяет зависимость радиус вектора от времени для равномерного движения и является основной формулой. Часто начальный момент времени считают равным нулю (t₀ = 0) и записывают эту зависимость в виде: .

Эту зависимость можно записать в проекциях на оси координат:

,

,

Здесь x₀, y₀, z₀ – начальные координаты тела в момент времени t₀ = 0; x, y, z – координаты тела в момент времени t; v_x, v_y, v_z – проекции вектора скорости на оси координат X, Y, Z.

2. Неинерциальные системы отсчета. Рассмотрим две системы отсчета. Пусть одна из них инерциальная, а вторая неинерциальная. Пусть ускорение некоторого тела относительно инерциальной системы отсчета равно а₀, а ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной равно а. Тогда ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета равно:

Умножим это уравнение на массу тела m:

Но в инерциальной системе отсчета можно использовать второй закон Ньютона: , где F_p - равнодействующая действующих на тело сил. Получается

Обозначим: . Тогда можно написать:

Силы инерции. Полученное уравнение показывает, что формально можно записать второй закон Ньютона для тела и в неинерциальной системе отсчета, если ко всем реально действующим на тело силам добавить еще одну силу:

Эта сила называется силой инерции. Сила инерции равна произведению массы тела на ускорение системы отсчета и направлена противоположно ускорению системы отсчета.

Следует заметить, что для силы инерции нельзя указать источник действия, то есть, нет никакого другого тела, со стороны которого на рассматриваемое тело действует сила инерции. Поэтому силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона. По этой причине силы инерции часто называют фиктивными силами. Однако, когда в поднимающемся с ускорением лифте нас начинает сильнее прижимать к полу или в поворачивающем на большой скорости автомобиле нас прижимает к боковой двери, эти силы нам не кажутся фиктивными.

Центробежная сила. Одной из разновидностей сил инерции являются центробежные силы. Центробежная сила действует на тело во вращающейся системе отсчета. Она равна произведению массы тела на центростремительное ускорение системы отсчета в точке нахождения тела и направлена противоположно центростремительному ускорению, то есть от центра:

Центробежная сила, действующая на тело в разных точках вращающейся системы отсчета разная.

Инертная и гравитационная массы. Масса тела экспериментально может быть измерена двумя способами.

Первый способ измерения массы базируется на втором законе Ньютона. Для того, чтобы определить массу некоторого тела, надо приложить к нему какую-либо известную силу и измерить ускорение, с которым начнет двигаться тело. Далее, разделив силу на ускорение, получаем массу. Эта масса является мерой инертности тела и ее называют инертной массой.

Второй способ определения массы базируется на законе всемирного тяготения. Для того, чтобы определить массу некоторого тела, надо на известном расстоянии от него поместить второе тело с известной массой и измерить силу гравитационного притяжения тел. Далее из закона всемирного тяготения определяется неизвестная масса. Такая масса является мерой гравитационного взаимодействия тел и называется гравитационной массой.

Принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс. Вообще говоря, инертная и гравитационная массы являются совершенно разными характеристиками тела. Однако, как показывает опыт, они равны друг другу. Были предприняты специальные экспериментальные попытки обнаружить хотя бы маленькую разницу между этими двумя массами. Однако все эксперименты показывают, что, по крайней мере в пределах точности эксперимента, эти две массы равны. По этой причине мы обычно не разделяем массу на инертную и гравитационную.

Еще один момент: тот факт, что сила инерции прямо пропорциональна массе, формально позволяет отождествить силы инерции с гравитационными силами. Так, например, наблюдателю, находящемуся в ускоренно поднимающемся лифте, кажется, что сила тяжести увеличилась. Причем, ни один физический эксперимент, проведенный внутри лифта, не позволит определить, чем обусловлено это изменение: ускоренным движением лифта или действительным изменением силы тяжести.

Альберт Эйнштейн в 1916 году опубликовал «Общую теорию относительности», где в качестве постулата был объявлен принцип эквивалентности инертной и гравитационной массы. Эйнштейн объявил, что инертная и гравитационная массы – это одно и то же и между ними принципиально нет никакой разницы. Отсюда также следует, что силы инерции абсолютно тождественны гравитационным силам.

Билет 2

1. Мгновенная скорость. Средняя скорость дает представление о том, как быстро изменилось положение тела за весь промежуток времени Δt, однако ничего не говорит о скорости движения тела в каждый момент времени внутри этого промежутка. Для более детального определения скорости имеется понятие о так называемой мгновенной скорости. Мгновенной скоростью называется средняя скорость перемещения, определяемая на очень маленьком, в пределе на бесконечно маленьком, промежутке времени. Математически это записывается следующим образом:

Мгновенная скорость – векторная величина.

Как и любой вектор, вектор скорости можно спроектировать на оси системы координат. Так проекции вектора средней скорости перемещения и мгновенной скорости на ось Х определяются так:

;

Аналогично определяются проекции скорости на оси Y и Z.

Ускорение. Равномерное движение – самое простое, но практически не встречающееся в природе движение. Обычно при реальном движении скорости тел изменяются. Причем изменяются и по величине и по направлению. Аналогично понятию скорости, характеризующего быстроту изменения положения тела, можно ввести величину, характеризующую быстроту изменения скорости тела. Пусть за некоторый промежуток времени Δt скорость тела изменилась на Δv. Величина

называется средним ускорением. Ускорение – величина векторная.

Аналогично определению мгновенной скорости вводится понятие мгновенного ускорения:

Единицей измерения ускорения в системе СИ является [м/с²].

Проекции вектора среднего и мгновенного ускорения на оси координат:

;

Аналогично определяются проекции вектора ускорения на оси Y и Z.

Равноускоренное движение. Равноускоренным называется движение с постоянным ускорением. Часто дается другое определение: равноускоренным называется движение, при котором за любые одинаковые промежутки времени скорость тела изменяется на одинаковую величину. Если под постоянством ускорения подразумевать его постоянство как по модулю так и по направлению, то эти два определения эквивалентны. В отличие от равномерного движения, равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным.

Для равноускоренного движения понятия среднего и мгновенного ускорений совпадают. Значит ускорение, определяемое выражением , одновременно является и средним и мгновенным ускорением.

Пусть в начальный момент времени t₀ скорость тела была равна v₀, а в некоторый последующий момент t скорость тела стала равна v. Тогда можно написать: , а . Значит

или

Зависимость скорости и координат от времени при равноускоренном движении. Это выражение определяет зависимость скорости от времени для равноускоренного движения и является одним из основных уравнений. Если принять t₀ = 0, то . В проекции на ось Х эта зависимость записывается в виде:

(*)

З десь v_0x – проекция вектора начальной скорости на ось Х; v_x(t) – проекция вектора скорости в момент времени t; а_х – проекция вектора ускорения на ось Х. Аналогично записываются зависимости скорости от времени в проекциях на оси Y и Z. Здесь принято t₀ = 0. Для того, чтобы записать еще одно основное соотношение для равноускоренного движения, воспользуемся так называемым графическим методом. Так как зависимость скорости от времени для равноускоренного движения является линейной, то график зависимости проекции скорости от времени представляет собой прямую линию. Нарисуем примерный график зависимости v_x от t. Как известно, на графике зависимости скорости от времени пройденное расстояние численно равно площади под графиком. Значит площадь заштрихованной трапеции на нашем графике равна изменению координаты:

Но . Значит, получается:

Обычно считают, что t₀ = 0 и записывают эту формулу в следующем виде:

Эта формула представляет собой зависимость координаты х от времени для равноускоренного движения и является еще одной основной формулой. х₀ – начальная координата. Аналогично записываются зависимости координат y и z от времени. В векторном виде эта зависимость имеет такой вид:

Запишем еще одну формулу. Она не является основным соотношением для равноускоренного движения, но оказывается очень полезной при решении задач. Выразим время из (*): и подставим его в зависимость x(t). После преобразований получается формула:

Аналогичные зависимости можно записать в проекциях на другие оси координат. В общем виде эта зависимость записывается так: