- •Е.Г. Романова Дифференциальная геометрия
- •Содержание
- •1. Векторная функция скалярного аргумента
- •1.1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность
- •1.2. Дифференцирование вектор-функции
- •1.3. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу
- •2. Сведения из теории кривых
- •2.1. Элементарная кривая
- •2.2. Касательная прямая к кривой
- •2.3. Соприкасающаяся плоскость кривой
- •2.4. Длина дуги как параметр
- •2.5. Кривизна кривой
- •2.6. Кручение кривой
- •2.7. Формулы Френе
- •3. Теория поверхностей в дифференциальной геометрии
- •3.1. Элементарная поверхность
- •3.2. Регулярная поверхность
- •3.3. Кривые на поверхности
- •3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.5. Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности
- •3.6. Площадь поверхности
- •3.7. Вторая квадратичная форма поверхности
- •3.8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности
- •3.9. Главные направления и кривизны поверхности
- •3.10. Внутренняя геометрия поверхности
- •Литература:
2.6. Кручение кривой
Пусть Р — произвольная фиксированная точка регулярной кривой без особых точек и М — точка этой кривой, отличная от Р. Обозначим через φ угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и М, а через s – длину дуги РМ.
Определение 2.8. Абсолютным кручением |χ| кривой γ в точке Р называется предел отношения φ/s при s → 0 (т. е. при М→Р).
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2.4. Регулярная (трижды дифференцируемая) кривая γ без особых точек имеет в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, определенное абсолютное кручение.
Докажем это утверждение.
П
(2.9)
где α → 0 при ∆t→ 0.
Для вычисления предела φ/s при s→0 нам понадобится значение синуса угла φ между нормалями к соприкасающимся плоскостям в точках Р и М. Для этой цели найдем модуль векторного произведения и , а также произведение модулей этих векторов. С помощью (2.9) получим
Отсюда, используя распределительное свойство векторного произведения и известную формулу для двойного векторного произведения, найдем
где , и поэтому β→0 при ∆t→0. Из последнего выражения для получаем следующую формулу:
(2.10)
где ε→0 при ∆t→0.
Путем аналогичных рассуждений получается также следующая формула:
(2.11)
где μ→0 при ∆t→0.
Из формул (2.10) и (2.11) получаем нужное нам выражение для sin φ:
.
Отметим, что в этом выражении значения производных векторной функции вычислены в точке Р.
(2.12)
Обращаясь к выражению (2.12) для s, используя только что полученную формулу для sin φ и известный предел при φ → 0, убедились, что предел при s → 0 существует и равен .
Итак, в условиях утверждения абсолютное кручение |χ| существует и может быть найдено по формуле
(12.22)
Определим кручение χ кривой с помощью равенства
(12.23)
(2.13)
2.7. Формулы Френе
Рассмотрим регулярную (трижды непрерывно дифференцируемую) кривую . Если в выбрана прямоугольная система координат, то .
Вектор является единичным вектором касательной к линии в точке M , где .
Вектор называется вектором кривизны линии в точке M и .
Прямая, проходящая через точку M в направлении называется главной нормалью линии в точке M (рис. 5).
Имеем , так как вектор – вектор постоянной длины и, следовательно, перпендикулярен вектору . Отсюда, главная нормаль перпендикулярна касательной.
Вектор называется единичным вектором главной нормали, т.е. =1. Так как , то и, следовательно, или
. (2.14)
Определим ещё вектор
Прямая, проходящая через точку M в направлении вектора называется бинормалью линии в точке M, а вектор – единичный вектор бинормали. Имеем, .
Плоскость, содержащая векторы и является соприкасающейся плоскостью; содержащая векторы и – нормальной плоскостью; содержащая векторы и – спрямляющей плоскостью.
Трёхгранник с вершиной в точке M, образованный этими тремя плоскостями, называются сопровождающим трёхгранником пространственной кривой (рис. 5).
Так как вектор – единичный, т.е. постоянной длины, то и значит вектор , параллелен спрямляющейся плоскости. Поэтому его можно разложить по векторам и
, (2.15)
где – координаты в базисе .
Тождество дифференцируем по параметру s: . Если в этом равенстве и заменить формулами (2.14) и (2.15), то получим или . Учитывая, что , т.к. это скалярное произведение единичных векторов, а , как скалярное произведение перпендикулярных векторов. Тогда будем иметь, что и, отсюда, . Формула (2.15) принимает вид после подстановки
. (2.16)
Тождество дифференцируем по параметру s:
.
Заменяя здесь векторы и их выражения через (2.12) и (2.14), находим, что
.
Отсюда или . Здесь взят знак “минус“, так как тройка векторов – левая; а число есть кручение линии в точке M.
М
(2.17)
, , .
Вся теория гладких линии основана на применении этих формул.
Найдём формулу для вычисления кручения, если линия задана естественным уравнением или .
Первую формулу Френе можно записать так: . Продифференцируем это соотношение по s и используем вторую формулу Френе: , получим
.
Таким образом, смешанное произведение векторов по базису найдётся, как
.
Отсюда получаем искомую формулу для кручения линии:
(2.18)
или в координатах
(2.19)
Линия называется плоской, если все её точки лежат в некоторой плоскости.
Примем без доказательства следующее утверждение.
Теорема 2.1. Кручение плоской линии во всех точках равно нулю.
Верно и обратное утверждение.
Пример 2.2. Найти кривизну и кручение винтовой линии , a>0.
Решение. Найдем производные вектор – функции
,
,
.
Теперь определим векторное произведение
Далее для смешанного произведения имеем
.
Найдём длины векторов.
,
,
.
Отсюда кривизна будет равна , кручение .
Следовательно, для винтовой линии кривизна и кручение постоянны. ■