2. Моменты инерции

Моменты инерции характеризуют распределение массы в теле и играют существенную роль в описании движения твердого тела. При вычислении моментов инерции обычно используют координатные оси жестко связанные с телом. Причина простая – в таких осях моменты инерции постоянны (не зависят от времени).

Осевые моменты инерции всегда положительны. В нуль осевой момент инерции может обратиться только в одном частном случае, когда можно считать, что вся масса тела распределена по оси, относительно которой вычисляется момент инерции (например, относительно продольной оси балки). В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль.

Вместо осевого момента инерции иногда используют радиус инерции тела относительно оси, под которым понимают расстояние от оси до точки, в которой нужно сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси:

Главной осью инерции тела называется ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю.

Например, если то ось – главная ось инерции тела.

Главной центральной осью инерции называется главная ось инерции, проходящая через центр масс тела.

Теорема Гюйгенса–Штейнера

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Пусть оси и параллельны, причем, ось проходит через центр масс тела. Примем центр масс за начало координат и проведем ось так, чтобы она пересекала ось (Рис.5.1). Выделим в теле элементарный объем массой и опустим из него перпендикуляры на оси и . По теореме косинусов

где – координата элементарного объема. Тогда

Первый интеграл равен моменту инерции относительно оси ; второй – массе тела ; третий – нулю, так как, согласно определению центра масс

поскольку центр масс принят за начало координат.

Таким образом,

(5.4)

Примеры вычисления осевых моментов инерции

1. Однородный стержень массой длины .

Вычислим момент инерции стержня относительно оси , проведенной через торец стержня перпендикулярно ему (Рис.5.2). Направляя ось вдоль стержня, получаем:

, так как

Вычислим момент инерции стержня относительно оси , проходящей перпендикулярно стержню через его центр масс . Используя теорему Гюйгенса-Штейнера (5.4), получаем:

(5.5)

2. Тонкостенная однородная труба (кольцо, обруч) массой радиуса .

Вычислим момент инерции тела относительно продольной оси симметрии (Рис.5.3). Для любой частицы такого тела расстояние до оси равно радиусу, следовательно

Рис. 5.3		Рис. 5.4

3. Сплошной однородный цилиндр (диск) массы радиуса .

Вычислим момент инерции тела относительно продольной оси симметрии .В качестве элементарного объема рассмотрим тонкий цилиндрический слой радиуса , толщиной (Рис.5.4). Объем слоя а его масса где

Получаем:

4. Однородная прямоугольная пластина массы со сторонами и .

Вычислим момент инерции пластины относительно оси , проходящей через одну из сторон пластины (Рис.5.5). В качестве элементарной площади рассмотрим полосу параллельную оси , длина которой , а ширина – . Масса полосы равна

где

Используя определение осевого момента инерции, получаем:

Для момента инерции относительно оси аналогично получаем:

Теорема Гюйгенса–Штейнера (5.4) позволяет получить моменты инерции тела относительно параллельных осей, проходящих через центр масс пластины:

Рис. 5.5		Рис. 5.6