Кинетический момент твердого тела
В разделе "Кинематика твердого тела" установлено, что свободное абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы, т.е. его положение в системе отсчета в любой момент времени определяется шестью параметрами – координатами. В качестве таких координат удобно использовать три декартовы координаты произвольно выбранной точки, принятой за полюс, и три угла (например, углы Эйлера), определяющие положение тела по отношению к подвижной системе координат, движущейся поступательно со скоростью точки, принятой за полюс.
В динамике за полюс принимают центр масс тела. Это связано с тем, что наличие теоремы о движении центра масс механической системы (4.15) позволяет определить закон движения такого полюса – точки . Остается определить движение тела по отношению к осям Кенига, что можно сделать, используя теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс механической системы (4.30).
В общем случае движения свободного твердого тела получаем, записывая векторные уравнения (4.15) и (4.30) в проекциях на соответствующие оси координат, шесть скалярных уравнений, которые позволяют определить закон движения тела. В частных случаях движения число уравнений, естественно, уменьшается.
Введенный ранее кинетический момент, определен как сумма моментов количеств движения для всех материальных точек, образующих механическую систему. Абсолютно твердое тело определяется как геометрически неизменяемая механическая система, масса которой непрерывным образом распределена по объему, занятому системой. При вычислении кинетического момента тело мысленно разбивается на частицы и определяется предел последовательности кинетических моментов для системы частиц при массе частицы стремящейся к нулю (число частиц при этом стремится к бесконечности):
При вычислении подобных интегралов
необходимо перейти к интегрированию
по объему, полагая
где
– плотность тела.
В общем случае свободного твердого тела его движение по отношению к осям Кенига будет сферическим. Вычислим кинетический момент тела, совершающего сферическое движение, относительно шарнирно закрепленной точки.
– вектор мгновенной угловой скорости
тела;
– текущие координаты точки;
– орты осей, жестко связанных с телом.
Записывая полученное равенство в проекциях на координатные оси, находим:
(5.1)
Величины
(5.2)
называются моментами инерции тела
относительно координатных осей (
– объем тела).
Величины
(5.3)
называются центробежными моментами инерции или произведениями инерции.