Система Кенига. Теоремы Кенига
Пусть система отсчета
неподвижная (инерциальная). Система
движется поступательно по отношению к
,
причем ее начало во все время движения
совпадает с центром масс механической
системы (Рис.4.3). Такая система координат
называется системой Кенига. Следует
заметить, что система Кенига играет
исключительно важную роль при описании
движения твердого тела.
Установим связь между кинетическими
моментами механической системы
относительно неподвижного центра
и относительно центра масс механической
системы
.
По определению кинетического момента (4.9):
(4.27)
Здесь
– скорость точки
по отношению к системе Кенига.
Вычислим каждую из четырех сумм,
входящих в равенство (4.27).
где
– масса всей системы.
здесь использована формула (4.12) и учтено,
что центр масс тела в подвижной системе
координат покоится
здесь использована формула (4.12) и учтено,
что
,
поскольку центр масс тела всегда
совпадает с началом подвижной системы
координат. Последняя сумма представляет
собой кинетический момент механической
системы отноcительно центра масс в
системе Кенига:
Подставляя полученные результаты в формулу (4.27), находим:
(4.28)
Равенство (4.28) составляет содержание первой теоремы Кенига.
При вычислении кинетической энергии часто бывает полезной, так называемая, вторая теорема Кенига, устанавливающая связь между кинетической энергией механической системы относительно неподвижной системы отсчета и кинетической энергией, полученной системой в относительном движении по отношению к системе координат Кёнига.
где
– кинетическая энергия, полученная
механической системой в ее относительном
движении по отношению к системе Кенига.
Поскольку
окончательно получаем:
(4.29)
Теорема об изменении кинетического момента относительно центра масс механической системы
Подставим результат (4.28) в теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра (4.10):
или
Второе слагаемое в левой части равенства равно нулю, как векторное произведение коллинеарных сомножителей. Используя теорему о движении центра масс (4.15), получаем:
или
(4.30)
Таким образом,
производная по времени от кинетического момента механической системы относительно ее центра масс равна сумме моментов относительно центра масс всех приложенных к системе внешних сил.
Как видно, теорема об изменении кинетического момента сохраняет свой вид, если в качестве моментной точки используется центр масс механической системы.
Движение абсолютно твердого тела