2. Предварительный выбор кривой.

Пусть имеется временной ряд: . Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера).

Этот метод может быть использован, если:

1. уровни временного ряда состоят только из двух компонент, тренд и случайная компонента;

2. тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе, вычисляются разности (приросты) до го порядка включительно:

;

;

………………..

.

Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляются конечные разности до четвертого порядка.

Затем для исходного ряда и для каждого разностного ряда вычисляются дисперсии:

1. для исходного ряда:

;

2. для разностного ряда го порядка :

,

где биномиальный коэффициент (число сочетаний из по ).

Далее производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, то есть вычисляются величины: , и, если для какого-либо эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины (то есть дисперсии одного порядка), то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна .

Метод характеристик прироста является более универсальным методом предварительного выбора кривой роста. Здесь исходный ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания длиной , где сглаженные уровни рассчитываются по формуле:

,

причем, первый и последний уровни сглаживаются по формулам:

и

соответственно.

Затем вычисляются первые средние приросты: , ; и вторые средние приросты: , а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда: .

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда с использованием данных таблицы 1.

Таблица 1.

Показатель	Характер изменения показателя во времени	Вид кривой роста
Первый средний прирост	Примерно одинаковы	Полином первого порядка (прямая)
Первый средний прирост	Изменяются линейно	Полином второго порядка (парабола)
Второй средний прирост	Изменяются линейно	Полином третьего порядка (кубическая парабола)
	Примерно одинаковы	Простая экспонента
	Изменяются линейно	Модифицированная экспонента
	Изменяются линейно	Кривая Гомперца
	Изменяются линейно	Логистическая кривая

3. Методы определения параметров кривых.

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выравненых по кривой роста значений была наименьшей.

Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых. Например, для полинома третьей степени

система нормальных уравнений имеет вид:

(6)

Параметры экспоненциальных и образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты предварительно логарифмируют выражение (например, по натуральному основанию):

,

то есть получают выражение линейное относительно логарифмов, а затем для неизвестных параметров и составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений и далее решают ее.

ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ И

ТОЧНОСТИ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ

Адекватность модели понимается как ее соответствие в определенной мере исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность – в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда:

• случайность колебаний уровней остаточной последовательности;

• соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

• равенство математического ожидания случайной компоненты нулю;

• независимость значений уровней случайной компоненты.