0. Метод Шискина-Эйзенпресса.

В методе Шискина-Эйзенпресса, кроме скользящей средней (4), на втором и последующих этапах итерационной процедуры применяются более сложные пятнадцати- и двадцатиточечные скользящие Спенсера. Они имеют соответственно следующий вид:

(13)

Скользящая средняя с симметрично-равными весами вида (4) позволяет выделить лишь линейный тренд. Если же тренд на самом деле нелинеен, то сглаживание временного ряда дает искаженные его значения. Скользящая средняя Спенсера позволяет получать точные оценки тренда, выраженного полиномами до третьей степени включительно.

Работа метода Шискина-Эйзенпресса заключается в последовательном выполнении следующих шагов:

1. Исходный ряд выравнивается скользящей средней (4). Делается это, как в методе Четверикова, с той целью, чтобы не исказить сезонную компоненту .

Если использовать скользящую среднюю с другим периодом скольжения, то это привело бы к изменению как амплитуды, так и формы сезонной волны.

2. Рассчитываются остаточные значения:

,

или

.

Вычисляются средние значения остаточного ряда в целом по ряду и по месяцам (кварталам) :

. (14)

3. Находится предварительная оценка средней сезонной волны

(15)

и строится новый ряд, относительно свободной от сезонной компоненты

. (16)

4. К ряду применяется сглаживание скользящей средней Спенсера:

Реализовать такое сглаживание можно в несколько приемов, используя последовательно процедуры:

• Сглаживание по пяти точкам: ;

• Сглаживание по пяти точкам: ;

• Сглаживание по семи точкам:

;

• Сглаживание вида:

.

5. Находится улучшенная оценка сезонной компоненты:

. (17)

МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1. Трендовые модели на основе кривых роста.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики – на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, то есть на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

Предполагается: прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

1. временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, то есть преобладающую тенденцию;

2. общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста.

Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

полином первой степени;

полином второй степени;

полином третьей степени;

и так далее.

Параметр называют линейным приростом, а параметр ускорением роста, параметр изменение ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле

,

то они будут постоянной величиной и равны . Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты: для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты – линейными функциями времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле , будут постоянными величинами.

На основе сказанного можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

1. от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

2. значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

Полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

Использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента:

, (1)

где и положительные числа, при этом, если , то функция возрастает с ростом времени , в противном случае – убывает.

Ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста:

.

Логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени:

.

Модифицированная экспонента:

, (2)

где постоянные величины: , , а постоянная носит название асимптоты этой функции, то есть значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине .

Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, при этом:

.

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем вновь замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу, например, процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца:

, (3)

где положительные параметры, причем ; параметр асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяют четыре участка: на первом – прирост функции незначительный; на втором – прирост увеличивается; на третьем – прирост примерно постоянный; на четвертом – происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению .

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции – линейная функция времени.

На основе кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни, модификация этой кривой используется в демографии для моделирования показателей смертности и т.п.

Логистическая кривая (кривая Перла-Рида):

; (4)

другой вид этой кривой:

; (5)

В этих выражениях и положительные параметры; предельное значение функции при бесконечном возрастания времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.