Определение градиента и стационарных точек функции

Пусть в области   задана функция   , которая в некоторой точке   имеет частные производные   по всем переменным   ,   .

        Определение 8.1   Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

называется градиентом функции   , вычисленным в точке   . Градиент   обозначается также   и   .

Если частные производные существуют во всех точках области   , то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке   , представляет собой вектор-функцию   со значениями в   .     

В некоторых точках   градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных в точке   будут равны 0:

При всех

Такие точки   называются стационарными точками функции   .

        Пример 8.1   Рассмотрим функцию   , заданную на всей плоскости   . Поскольку

то

а стационарные точки задаются системой уравнений

Решая эту систему из двух линейных уравнений, находим единственное решение:

Значит,    -- единственная стационарная точка этой функции.