Производная по направлению

Пусть снова функция   задана в области   и имеет во всех точках   частные производные по всем переменным   . Предположим, что все частные производные   непрерывны в точке   . Тогда функция   дифференцируема в точке   , то есть приращение функции   имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:

где    -- величина большего порядка малости при   , чем   . Напомним, что

так что получаем

(8.1)

Фиксируем теперь в   какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор   Через точку   в направлении вектора  проходит некоторая ось   . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки   этой оси можно задать параметрическими уравнениями:

или, в векторном виде,   , где   и увеличению значений параметра   соответствует движение точки   оси   в направлении вектора  .

Обозначим   ту часть оси   , которая состоит из точек оси, следующих после   , то есть точек луча   , получающегося при   .

        Определение 8.2   Значение предела

называется производной функции   по направлению оси (или луча)   (илипо направлению вектора   ), вычисленной в точке   . Производная по направлению обозначается   или       

Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции   при прямолинейном и равномерном движении точки   вдоль оси   в момент   .

Заметим, что если направление оси   совпадает с направлением одной из координатных осей   , то производная функции   по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции   по соответствующей переменной   . Если существует (двусторонняя) частная производная по   , то получаем, что

если   .

Используя параметризацию точки на луче   вида   и замечая, что условие   означает, что   , получаем:

Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):

Отсюда

Здесь в правой части первые   слагаемых не зависят от   . Поскольку   при   , то последний предел равен 0, так как    -- величина большего порядка малости, чем   . Итак, получили формулу

С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления   .

Заметим, что в правой части полученной формулы первый множитель каждого слагаемого -- это компонента вектора   , а второй множитель -- компонента вектора   . Этот вектор лишь длиной отличается от вектора   ; направление его, очевидно, то же, что у   . Длина вектора   равна 1:

Поэтому компоненты вектора    -- это направляющие косинусы -- косинусы углов   между осью   и осями координат   :

где    -- единичный направляющий вектор оси   ,   , а точкой   обозначено скалярное произведение векторов   и   . Таким образом, имеет место следующая теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:

        Теорема 8.1   Если все частные производные   функции  непрерывны в точке   и направление оси   задано вектором   , то

где    -- единичный направляющий вектор оси   , или

где    -- углы между осью   и осями   .