2. Фильтр Калмана

В 40-х годах прошлого столетия Норбертом Винером был предложен алгоритм, позволяющий выделить скалярный сигнал из шума с постоянными статистическими характеристиками, иначе говоря, обработать результаты измерений, содержащих погрешности. В 1960-м году этот алгоритм был усовершенствован Рудольфом Калманом и распространен на обработку в реальном времени данных, полученных динамическими системами с изменяющимися статистическими характеристиками (например, навигационными системами, работающими с использованием различных физических принципов). В настоящее время этот фильтр используется при решении задач геодезии, геологии, океанографии, гидродинамики и др.

Сущность алгоритма, лежащего в основе фильтра Калмана, заключается в следующем.

Известно, что динамическую систему с изменяющимися во времени статистическими параметрами характеризуют некоторые элементы ее поведения (параметры) по состоянию на момент времени k, в частности [51]:

• вектор оценки состоянияx_k, представляющий собой некоторый набор величин (например, координат X_k, Y_k, Z_k, проекций скорости на координатные оси V_X, V_Y, V_Z и пр.), которые не могут быть измерены непосредственно и подлежат определению;

• вектор измеренийz_k некоторых выходных сигналов (например, ускорения, углов наклона и пр.) системы, которые связаны с ее состоянием, содержат ошибки (шумы)R_k и могут быть измерены с заданной точностью;

• вектор инструментальных ошибокR_k, полученный на основе линейной модели связи элементов вектора измерений с пере­менными вектора состояния системы;

• ковариационная матрица ошибок P_k, – мера точности оцениваемых (определяемых) параметров вектора состоянияx_k, диагональные элементы которой представляют собой дисперсии этих элементов, а недиагональные характеризуют связь между парами этих элементов;

• матрица наблюдений H_k характеризует динамику изменения состояния системы. Элементы этой матрицы представляет собой дифференциалы функций, определяющих соответствующие модели измерений, по параметрам состояния;

• матрица возмущений Q_k, которая учитывает влияние на систему внешних источников;

• фундаментальная матрица F_k, элементы которой описывают динамику состояния системы и определяются путем численного интегрирования уравнения ее движения;

• начальные значения вектора оценки состоянияx₀ и ковариационной матрицы ошибок P₀ на момент инициализации системы.

Задачей алгоритма является построение оптимальной оценки состояния системы на основе вектора измерений, содержащего погрешности, причем условием оптимальности оценки состояния является минимум ее средней квадратической ошибки.

В каждом цикле вычислений работу каждого шага фильтра Калмана можно разделить на два этапа (рис. 10.18):

• этап прогноза, на котором вычисляются элементы вектора состояния динамический системы и ковариационной матрицы по их значениям в предыдущем цикле или по данным, полученным при инициализации;

• этап корректировки, на котором осуществляется обновление вектора состояния и ковариационной матрицы с учетом результатов выполненных измерений и вычисленного значения коэффициента усиления (Kalman-Gain).

На каждом этапов выделяется две ветви вычислений, одна из которых связана с уточнением состояния системы, а вторая – с уточнением ковариационной матрицы. В обоих случаях используются обданные только текущего и предыдущего циклов, что исключает необходимость хранения всего массива накопленных данных.

Обработанные в текущем цикле измерения используются для уточнения начальных условий, для чего вычисляются веса поправок к ним на основе ковариационных матриц оценки состояния и измерений. Причем, для уточнения ковариационной матрицы не требуется ни конкретных значений оценок состояния системы, ни измерений, а лишь только величины, характеризующие их погрешности (рис. 10.18).

Следствием этого является уменьшение неопределенности элементов вектора оценки состояния системыx_k, являющихся выходными данными фильтра Калмана на каждом цикле, после чего осуществляется подготовка к поступлению нового вектора измерений. При уточнении ковариационной матрицы ошибок P_k вектора оценки состоянияx_k учитывается возможность искажения модели поведения системы некоторым случайным процессом. Статистические параметры этого процесса задаются элементами матрицы возмущений Q_k.

Поскольку в процессе вычислений изменяется степень неопределенности оценки состояния системы и элементы ковариационной матрицы ошибок, то фильтр Калмана можно рассматривать как алгоритм с переменными весами. При неизменном состоянии системы алгоритм фильтра Калмана даст те же результаты, что и классический метод наименьших квадратов, в котором в качестве весовой используется матрица, обратная ковариационной.

Таким образом, фильтр Калмана является инструментом, позволяющим построить оптимальные оценки системных переменных на основе математической модели системы и по результатам выполненных измерений. Его важнейшими достоинствами является рекуррентная природа, проявляющаяся при работе в реальном времени, и возможность априорной оценки точности получаемых результатов средствами самого алгоритма.

Алгоритм фильтра Калмана сегодня является основным средством обработки измерений в навигационных системах, использующих спутниковый метод определений. При этом, располагая характеристиками погрешностей обоих систем, фильтр Калмана сводит к минимуму их влияние на выходные навигационные данные [53].