4. Аксиомы теории вероятностей

Рассмотрим произвольное пространство элементарных исходов . Выделим в нем систему S подмножеств (событий) так, чтобы выполнялись следующие три условия:

1. .

2. Если , то .

3. Если и ,то , .

Система S называется алгеброй событий. Алгебра S называется –алгеброй, когда постулируется, что сумма бесконечного числа событий принадлежит S, если каждое из слагаемых принадлежит S.

Из условий, определяющих алгебру S, следует также, что  , А\В  S , если A  S, B  S и , если A_i  S, i = 1, 2, …, n.

Действительно,  = (условия 1 и 2); А\В = (условия 2 и 3); A₁ + A₂  S (A₁ + A₂) + A₃  S … (условие 3 применяется n  1 раз).

В случае –алгебры произведение бесконечного числа событий принадлежит S, если каждый из сомножителей принадлежит S. Это следует из условий 2, 3, определения –алгебры и результатов задачи 2.4.8.

Поставим в соответствие каждому событию A  S число p(A), называемое вероятностью события А, так, чтобы выполнялись три аксиомы.

1. : p(A)  0.

2. p() = 1.

3. Если события А₁, А₂, ..., А_k попарно несовместны, т.е.

A_i A_j = Ø, i  j, i, j = 1, 2, ..., k, то

p(A₁ + A₂ + … + A_k) = .

В случае –алгебры аксиома 3 распространяется на бесконечную сумму.

4.1. Простейшие следствия из аксиом

1) p() = p( + ) = p() + p() = 1 p() = 0. Вероятность невозможного события равна нулю.

2. p() = p(A + ) = p(A) + p( ) = 1 p( ) = 1 – p(A) для всякого события A  S.

3. Из аксиомы 1 и следствия 2 вытекает, что вероятность любого события A не превосходит единицы,

0  p(A)  1.

4. Если A  B , то p(A)  p(B).

Действительно, если A  B, то событие B можно представить в виде суммы двух несовместных событий: B = A+ (B\А).

Тогда согласно аксиоме 3

p(B) = p(A + В\А) = p(A) + p(B\А)  p(A), так как согласно аксиоме 1

p(B\А) .

5. Пусть события A и B совместны. Как и в случае классической схемы, доказывается, что p(A + В) = p(A) + p(B)  p(AВ) (теорема сложения вероятностей).

Совокупность пространства элементарных исходов , алгебры S ( –алгебры) и множества вероятностей событий из алгебры S (удовлетворяющих трем аксиомам), называется вероятностным пространством. Классическое вероятностное пространство образуют множество  из n равновозможных исходов; множество всех подмножеств  (всего событий); множество вероятностей событий, определяемых формулой p(A) = m_A /n, где m_A – число исходов, входящих в событие А. Классические вероятности удовлетворяют трем перечисленным аксиомам.

4.2. Примеры вероятностных пространств

4.2.1. Конечное число неравновозможных исходов

Множество  содержит n неравновозможных элементарных исходов. Вероятности p(ω_i) , 1  i  n задаются тем или иным образом так, чтобы не нарушать аксиомы 1  3. Таким образом p(ω_i) > 0; кроме того,

.

Алгебра событий S содержит все подмножества , всего событий; вероятность любого события A равна (по аксиоме 3) сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

.

4.2.2. Счетное множество неравновозможных исходов

Множество  счетное, элементарные исходы ω_i (i = 1, 2, 3, ...) неравно-

возможны. Вероятности p(ω_i) должны удовлетворять аксиомам 1  3. Следовательно, .

–алгебра событий S содержит все подмножества пространства Ω; вероятность любого события A равна сумме (быть может, бесконечной) вероятностей элементарных исходов, входящих в А.

.

Сходимость бесконечного ряда вытекает из сходимости ряда

.