3.Подготовка и расчёт контрольного примера.

3.1 Исходные данные и постановка задачи.

Между игроками А и В имеется игровая задача. Матрица игры имеет вид:

	4	3	4	2
M =	3	4	6	5
	2	5	1	3

Требуется определить оптимальное решение игры при выигрыше стороны А и проигрыше стороны В.

3.2.Построение математической модели и критерия оптимизации.

В общем случае для смешанных стратегий игры (включая и чистые стратегии) математическая модель будет:

Y=

=1

Критерий оптимизации:

Y= max

3.3.Снижение размерности игровой матрицы и анализ на наличие седловой точки.

Выполняется по п.п. 2.1

Для данного примера не проводились ввиду простоты выполнения. Седловой точки нет, следовательно решение находится в области смешанных стратегий.

3.4.Поиск оптимального решения.

Для данной игровой задачи он выполнен путём приведения к линейной распределительной задаче и решения табличным симплекс - методом.

Используя (2.20) и (2.21) составим систему уравнений - ограничений для стороны А (выигрышной):

(2.30)

и критерий оптимизации:

Z= min

Используя (2.24) и (2.25) составим систему уравнений - ограничений для стороны В (проигравшей) в виде двойственной задачи:

(2. 31)

И критерий оптимизации:

W=U₁+U₂+U₃+U₄ max

Для более простого решения задачи принимает условия (2.31) стороны В. В результате решения табличным симплекс - методом оптимальное решение будет иметь вид таблицы (3.1):

Таблица 3.1

i	Ба-зис	С0 Ба-ис	Вi 0 Своб. член	1	1	1	1	0	0	0	Симплекс-отношение
				U1	U2	U3	U4	U5	U6	U7	Bi0/aip
1	U1	1	3/14	1	1/2	4/7	0	5/14	-1/7	0
2	U4	1	1/14	0	1/2	6/7	1	-3/14	2/7	0
3	U7	0	5/14	0	5/2	-19/7	0	-1/14	-4/7	1
m+1	N		2/7	0	0	3/7	0	1/7	1/7	0

Оптимальное решение:

W_max = 2/7 ; U₁* = 3/14 ; U₂* = 0 ;U₃* = 0 ; U₄* = 1/14

отсюда цена игры S = 1/W =7/2

учитывая соотношение y_i - U_i/S , получим

y₁* = 3/4 ; y₂* = 0 ; y₃* = 0 ; y₄* = 1/4 ;

т.е. для оптимальной стратегии стороны В вектор: Y*(3/4;0;0’1/4)

Оптимальное решение для стратегии стороны А получим исходя из решений для стороны В, используя оценки строки (m+1) в столбцах дополнительных переменных U₅, U₆, U₇:

t₁* = 1/7+0=1/7 ; t₂* = 1/7 + 0 = 1/7; t₃* = 0+0=0 .

Учитывая соотношение x_i = t_i/s, получим:

X₁* = 1/2 ; X₂* = 1/2 ; X₃* = 0;

т.е.для оптимальной стратегии стороны А вектор : X*(1/2; 1/2; 0).

Если бы для решения задачи были приняты условия (2.30) стороны А, то оптимальные решения находились бы аналогично, но сначала для стороны А- вектор Х*, а затем для стороны В - вектор Y*.

Анализируя результаты можно предположить, что для выигрышной стороны А наибольший гарантированный доход составит S = 7/2, , этом необходимо выпускать продукции видов С и D в равных количествах, а продукции вида Е вообще не выпускать. В этом случае наименьший гарантированный проигрыш для стороны В составит S = 7/2 при этом соотношение стратегий для этой стороны должно быть В₁ и В₄ как 3 : 1, а стратегии В₂ и В₃ применять не рекомендуется, т.е. b₂=0 и b₃=0.

Применять стратегии А₁ и А₂ в равных количествах, т.е. a₁ = 1/2 и a₂ = 1/2, а стратегию А₃ вообще не применяют, т.е. a₃ = 0.