3. Построение структурной схемы и определение передаточных функций сар

Уравнения звеньев САР сводятся в систему уравнений:

- дроссельный кран;

- чувствительный элемент;

- сервопоршень;

Система уравнений содержит 6 переменных ( , , , , , ), т.е. за исключением управляющего и возмущающего и воздействий число переменных равно числу уравнений. Система дифференциальных уравнений записывается в операторной форме и преобразуется к форме, удобной для построения структурной схемы САР. В результате получаем:

В структурном виде эти уравнения могут быть изображены следующим образом:

б)

а)

в)

Рисунок 2. Составляющие структурной схемы САР

Структурная схема САР, соответствующая системе преобразованных операторных уравнений, представлена на рисунке 3. По структурной схеме легко прослеживается взаимодействие звеньев в системе регулирования давления топлива за плунжерным насосом.

Рисунок 3. Структурная схема САР

Передаточная функция замкнутой САР по возмущающему воздействию (при и ) определяется по формуле:

После преобразования можно получить:

,

где ;

;

;

;

.

Собственный оператор замкнутой САР имеет вид:

4. Анализ устойчивости сар

Построим D-разбиение в плоскости параметра k₆ . Решаем уравнение :

.

Подставляя в данное уравнение значения всех коэффициентов и численные значения параметров САР (см. задание) и решая его относительно коэффициента k₆, получаем следующее выражение:

Воспользовавшись программой RADIS, определим действительную и мнимую составляющие частотной функции k₆ для ряда значений частот. В результате расчёта и построения получаем кривую D-разбиения для положительных значений частот (рис.5).

Рисунок 4. D - разбиение в плоскости коэффициента k₆: I – область наибольшей вероятности устойчивой работы; II, III – области неустойчивой работы САР

Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний. Воспользовавшись правилом подсчёта корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D- разбиения определяем область I , соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.

Для проверки устойчивости САР в области I зададимся величиной Re k₆ , взятой из этой области: k₆=0, и запишем характеристический полином или собственный оператор замкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:

.

Для проверки устойчивости САР по критерию Рауса-Гурвица составим квадратную матрицу Гурвица из коэффициентов a₀…a_n:

при проанализируем знаки диагональных миноров:

;

;

.

Все диагональные миноры положительны, следовательно, САР устойчива и область I D-разбиения является областью устойчивости САР.

Для проверки устойчивости по критерию Михайлова производится построением годографа Михайлова по собственному оператору САР

Результат построения с помощью программы RADIS изображен на рисунке 5. По рисунку 5 видно, что годограф Михайлова охватывает в положительном направлении три квадранта, следовательно, замкнутая САР с характеристическим полиномом третьего порядка устойчива.

Рисунок 5. Годограф Михайлова замкнутой САР частоты вращения ГТД с характеристическим уравнением третьего порядка