66. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.

Пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R, R) в степенной ряд f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…. Рассмотрим степенной ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+…, полученный почленным дифференцированием ряда f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…. Тогда: 1) ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+… имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…; 2) на всем интервале (-R, R) функция f(x) имеет производную f`(x), которая разлагается в степенной ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+….

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R, R), то она интегрируема в этом интервале. Интервал от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.

67. Ряды Тейлора (Маклорена)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x=0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд называют рядом Маклорена для функции f(x).

68. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена

Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в интервале (-r, r). Если существует такая константа М, что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства , то в этом интервале ряд Маклорена сходится к функции f(x).

69. Разложение в ряд Маклорена функций ex, sinx, cosx, , ln(1+x), (1+x)a.

Для e^x, sinx, cosx (R=∞)

70. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.

Если в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) функция f (x, y) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f_y`, то существует такая окрестность точки (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>)б в которой задача Коши y`=f(x,y), y(x₀)=y₀ имеет решение, притом единственное. /