IV. Образцы билетов для зачета Вариант 1
1. Необходимое условие сходимости числового ряда.
2. Доказать, что если и – первообразные функции на интервале , то , где – некоторая постоянная.
3.
Вычислить интеграл
.
4.
Вычислить
несобственный интеграл
.
5.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями:
6. Найти первый и второй дифференциалы функции в точке :
в точке
.
7.
Найти
точки локального экстремума функции
8.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
на множестве
:
,
.
9. Вычислить двойной
интеграл по области
:
где
.
10. Выяснить, сходится ли абсолютно, условно или расходится ряд:
Вариант 2
1. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
2. Дайте определение дифференцируемости функции в точке . Докажите, что если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
3.
Вычислите определённый интеграл
4.
Найдите
несобственный интеграл
.
5.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси
плоской фигуры, ограниченной линиями:
6.
Найти
производную функции
в точке
по направлению, составляющему угол
с осью
.
7.
Найти
точки локального экстремума функции
8.
Найти
условные экстремумы функции:
при
.
9. Вычислите двойной
интеграл по области
:
где
– множество точек плоскости, ограниченное
линиями
.
10.
Исследовать сходимость ряда:
.
V. Ответы Примеры задач
1.Интегральное исчисление функции одной переменной
1.1.
+С;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
;
1.7.
;
1.8.
;
1.9.
;
1.10.
;
1.11.
;
1.12.
;
1.13.
;
1.14.
;
1.15.
;
1.16.
;
1.17.
;
1.18.
;
1.19.
67; 1.20.
;
1.21.
;
1.22.
;
1.23.16;
1.24.
;
1.25.
;
1.26.
;
1.27.
;
1.28.
;
1.29.
10
;
1.30.
;
1.31.
;
1.32.
;
1.33.
.
2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
2.1.
;
;
2.2.
;
;
2.3.
;
;
2.4.
;
;
2.5.
;
;
2.6.
;
2.7.
;
2.8.
;
2.9.
;
2.10.
;
2.11.
;
2.12.
;
2.13.
–
точка минимума,
;
2.14.
– точка максимума,
;
2.15.
– точка минимума,
;
2.16.
– точка максимума,
;
2.17.
–
точка минимума,
,
–
точка максимума,
;
2.18.
– точка максимума,
;
2.19.
– точка минимума,
;
2.20.
,
;
2.21.
,
;
2.22.
,
;
2.23.
,
;
2.24.
,
;
2.25.
;
2.26.
,
.
3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
3.1
3;
3.2
12
;
3.3
86;
3.4
4
;
3.5
;
3.6
4;
3.7
1. 3.8
;
3.9
.
4.Ряды
4.1.
;
4.2.
;
4.3.
Сходится; 4.4.
Сходится;
4.5.
Сходится; 4.6.
Сходится;
4.7.
Расходится;
4.8.
Сходится;
4.9.
Сходится;
4.10.
Сходится;
4.11.
Сходится;
4.12.
Сходится;
4.13.
Расходится;
4.14.
Расходится;
4.15.
Расходится;
4.16.
Сходится;
4.17.
Сходится;
4.18.
Сходится;
4.19.
Сходится;
4.20.
Расходится; 4.21.
Расходится; 4.22.
Сходится; 4.23.
Расходится; 4.24.
Сходится абсолютно; 4.25.
Сходится условно; 4.26.
Сходится абсолютно; 4.27.
Сходится абсолютно; 4.28.
Сходится условно; 4.29.
Сходится абсолютно; 4.30.
Сходится условно; 4.31.
Сходится условно; 4.32.
Расходится.