Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Вычислите интеграл от функции
по области D,
ограниченной прямыми
,
и параболой
.Докажите, что
,
где
.
Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле. Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам,
,
где
.
Ряды
Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда
при
.Дайте определения числового ряда и его суммы. Исходя из определения докажите, что сумма ряда
равна числу 1.Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.
Докажите, что если ряд
сходится, а ряд
расходится, то ряд
расходится.Докажите, что для сходимости ряда ,
,
необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частичных сумм
была ограничена.
Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме для числовых рядов с положительными членами. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак не применим.
Сформулируйте признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами. Используя этот признак, докажите, что ряд
расходится.
Сформулируйте интегральный признак сходимости числового ряда с положительными членами. При каких положительных значениях ряд
сходится, а при каких расходится? Ответ
обоснуйте.
Какой числовой ряд называется гармоническим? Докажите, что гармонический ряд расходится.
Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.
Примеры задач
1.Интегральное исчисление функции одной переменной
Найти интеграл:
1.1.
1.2.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.
1.7.
.
1.8.
1.9.
.
1.10.
1.11.
.
1.12.
.
1.13.
.
1.14.
.
1.15.
.
1.16.
.
1.17.
.
1.18.
.
1.19.
.
1.20.
.
Найти несобственный интеграл:
1.21.
.
1.22.
.
1.23.
.
1.24.
.
1.25.
.
1.26.
.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.27.
и
.
1.28.
и
.
1.29.
и
.
1.30.
и
.
1.31.
,
и
.
Найти
объем тела, образованного вращением
вокруг оси
плоской фигуры, ограниченной линиями:
1.32.
и
.
1.33.
,
и
.