VI. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Кратные интегралы (двойные и тройные), их свойства. Сведение кратного интеграла к повторному.
Формула замены переменных в двойном интеграле.* Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
VII. Ряды
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости.
Числовые ряды с неотрицательными членами: критерий и признаки сходимости (первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера в предельной форме, интегральный признак*).
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.
Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
II. Структура зачета
Зачет проводится в письменной форме по окончании второго триместра. На выполнение всех заданий отводится 2 астрономических часа. Максимальное число баллов, полученное за письменный зачет, составляет 80 баллов.
Методика расчета зачетных баллов
Письменный зачет (максимум 80 баллов) + работа в триместре (максимум 20 баллов).
менее 50 баллов |
51-100 баллов |
«незачет» |
«зачет» |
80-балльная оценка за письменный зачет получается суммированием оценок за ответ на каждый вопрос зачета.
20-балльная оценка за работу в триместре складывается из 10-балльной оценки за первую половину триместра и 10-балльной оценки за вторую половину триместра.
10-балльная оценка за половину триместра получается преобразованием 100-балльной оценки по следующей таблице:
51-55 = 1 балл |
76-80 = 6 баллов |
56-60 = 2 балла |
81-85 = 7 баллов |
61-65 = 3 балла |
86-90 = 8 баллов |
66-70 = 4 балла |
91-95 = 9 баллов |
71-75 = 5 баллов |
96-100 = 10 баллов |
III. Содержание зачета Теоретические вопросы (а)
(определения, свойства и теоремы на уровне формулировок)
Определение первообразной для функции
на промежутке
.Определение неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Определение определенного интеграла Римана.
Достаточное условие интегрируемости.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом.
Определение несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом.
Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.
Пространство .
Расстояние в . Свойства расстояния.
Окрестность точки в .
Внутренние и граничные точки множества.
Открытые и замкнутые множества.
Изолированные и предельные точки множества.
Ограниченные множества.
Сходимость последовательности точек в , ее эквивалентность покоординатной сходимости.
Функция нескольких переменных.
Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных.
Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.
Частные производные функции нескольких переменных.
Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Дифференциал функции нескольких переменных.
Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.
Непрерывность дифференцируемой функции.
Производная сложной функции.
Производная по направлению.
Градиент. Свойства градиента.
Эластичность функции нескольких переменных.
Однородные функции.
Формула Эйлера для однородной функции.
Частные производные высших порядков.
Теорема о равенстве смешанных производных.
Локальные экстремумы функций нескольких переменных.
Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
Условный экстремум.
Метод Лагранжа.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
Числовые ряды.
Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
Свойства сходящихся рядов.
Необходимое условие сходимости числового ряда.
Числовые ряды с неотрицательными членами.
Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.