6. 3.5. Функции алгебры логики

Рассмотрим множество векторов X = {<x₁... x_n>}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом множество X состоит из 2ⁿ векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1} [6].

Определение. Функцией алгебры логики называется функция, дающая однозначное отображение X в Y.

Определение. Если две функции алгебры логики f₁(x₁... x_n) и

f₂( x₁... x_n) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения, то их называют равными.

Теорема 1. Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно и равно 2ⁿ.

Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:

x1, x2,..., xn	f(x1, x2,..., xn )
00...00	a1
00...01	a2
00...10	a3
...	...
11...11	a2n

Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2ⁿ. Следовательно, число функций будет равно 2ⁿ.

Рассмотрим основные функции, которые играют важную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях:

1. f = X.

2. f = ØX _{(отрицание – инверсия).}

3. f = 0.

4. f = 1.

5. f = X v Y (логическое сложение или дизъюнкция).

6. f = X & Y (логическое умножение или конъюнкция).

7. f = X ~ Y ( импликация).

8. f = X ® Y (функция Вебба).

9. f = X ¯ Y (стредка Пирса).

10. f = X | Y (функция Шеффера).

11. f = X Å Y (сложение по модулю 2).

Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода:

• подстановка в функцию новой функции вместо аргументов;

• переобозначение аргументов.

Пример. Представить в виде таблицы функцию

f (X1,X2 ) = { ( X1 ¯ X2 ) v (X1 Å X2 ) } = X1 | X2.

Решение.

X1	X2	X1 ¯ X2	X1 Å X2	f
0	0	1	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	0	0	0

Пример. Показать, что X1 ® X2 = ØX1 v X2 на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.

Решение.

X1	X2	X1 ® X2	ØX1	ØX1 v X2
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	0	1

Рассмотрим свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.