Часть с

Подробные и обоснованные решения заданий части С напишите аккуратно и разборчиво на специальном бланке для записи ответа в свободной форме. Тексты заданий не переписывайте.

С1. Осевое сечение конуса - треугольник с углом 120°. Радиус основания равен 3. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45°.

С2. Найдите расстояние от вершины С прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁С₁D₁ до диагонали BD₁, если CC₁ = , ВС = 3, CD = 4.

СЗ. Основание пирамиды TABCD - прямоугольник ABCD. Ребро AT перпендикулярно плоскости основания, грань ВСТ образует с плоскостью основания двугранный угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если AT = 3 м, DT = 5 м.

Примеры решения заданий части «с»

Рассмотрим в качестве примеров решения заданий теста № I, которые можно считать достаточно полными, подробными.

Задача С1.

Осевое сечение конуса - треугольник с углом 60°. Радиус основания конуса равен 6 м. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30°.

Дано: конус, МО - ось, CMD = 30°, ОА = 6 м,

BAM = 60° или АМВ = 60°.

Найти: S_MCD

Решение

1. Пусть АМB - данное осевое сечение, тогда AM = MB, но равнобедренный с углом 60° - равносторонний, поэтому АМ = МВ = 2АО=12м.

2. Треугольник CMD - искомое сечение, следовательно, sin 30°. Так как СМ = MD = AM = 12 м, то м².

Ответ: 36 м².

Существенными и обязательными элементами приведенного решения являются

1. построение осевого и искомого сечений;

2. обоснование вычисления длины образующей.

Задача С2.

Найдите расстояние от вершины А прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁С₁D₁ до прямой BD₁, если АВ = 4, AD = 3, АА₁ = 12.

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁С₁D₁,

АВ = 4, AD = 3, AA₁ = 12.

Н айти: расстояние от точки А до прямой BD₁.

Решение:

1. Грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники, поэтому AB AD, АВ АА₁, значит, AB пл.ADA₁ (признак перпендикулярности прямой и плоскости), и следовательно, АВ AD₁ (определение прямой перпендикулярной плоскости). Таким образом, треугольник ABD₁ - прямоугольный.

2. Грань ADD₁A₁ - прямоугольник, следовательно, по теореме Пифагора,

AD =АА + A₁D =12²+3² =153.

В АВD₁: BD₁ = .

3. Пусть AM BD₁, следовательно, длина AM - расстояние от точки А до прямой BD₁.

Так как , то Ответ: .

Существенными элементами приведенного решения являются

1. доказательство того, что треугольник ABD₁ прямоугольный,

2. вывод о том, что искомым расстоянием является длина перпендикуляра AM к прямой BD₁.

Задача СЗ.

Основание пирамиды MABCD - прямоугольник ABCD. Ребро AM перпендикулярно плоскости основания. Грань ВСМ наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ВМ = 2 м, DM = 2 м. Дано: пирамида MABCD,

ABCD - прямоугольник,

МА пл.АВС,

угол МВСА равен 30°,

ВМ = 2 м, DM = 2 м

Найти: S_бок

Р ешение:

1. МА пл. ABC, следовательно, АВ = пр. MB. АВ ВС (ABCD - прямоугольник), следовательно, MB BC (теорема о трех перпендикулярах). Аналогично MD CD.

2. AB BC и MB BC, значит, ABM - линейный

угол двугранного угла МВСА, т.е. ABM= 30° (определение).

3. MB пл.ABC, следовательно, MA AB и MA AD (определение прямой, перпендикулярной плоскости).

4. В АМВ: АМ = ВМ sinВ = 2 , АВ = ВМсоsВ = 2 = 3.

5. В AMD: AD = 1 (теорема Пифагора).

6. 

.

Ответ: м².

Существенными элементами приведенного решения являются

1. обоснование того, что ABM - линейный угол двугранного угла МВСА,

2. обоснование того, что треугольники, составляющие боковую поверхность, — прямоугольные.