- •21. Закон Био - Савара - Лапласа.
- •22.Циркуляция и ротор вектора напряженности магнитного поля.
- •Магнитный поток. Теорема Гаусса и уравнение Пуассона для в. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле.
- •Магнитное поле в веществе
- •Явление электромагнитной индукции. Формула Фарадея. Токи Фуко.
- •Уравнения Максвелла.
- •Движение заряженных частиц в магнитных полях.
- •34.Электрический ток в газах.
- •35. Собственные и примесные полупроводники.
21. Закон Био - Савара - Лапласа.
Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.
Пусть постоянный ток течёт по контуру γ, находящемуся в вакууме, — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом
Направление перпендикулярно и , то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением
Векторный потенциал даётся интегралом
Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид
где — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля
Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:
Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:
Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:
Тогда магнитное поле определяется интегралом
аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что
получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.
22.Циркуляция и ротор вектора напряженности магнитного поля.
Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.
Здесь — вектор магнитной индукции, — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур.
Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).
где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.
Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.
Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то для циклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).