Равновесие плоских шарнирных механизмов

Плоский шарнирный механизм (рис. 7), расположенный в вертикальной плоскости, находится в равновесии под действием внешнего момента , приложенного к произвольному звену.

Определить реакции внешних и внутренних связей, а также величину уравновешивающего момента в произвольном положении механизма. Рассмотреть следующие варианты приложения внешних сил:

.

Рис. 7

Исходные данные:

Решение

Для решения поставленной задачи выберем правую систему координат, начало которой расположим в подшипнике . Рассмотрим механизм в произвольном положении и изобразим силы, действующие на него (рис. 8):

– силы тяжести звеньев;

– уравновешивающий момент, приложенный к ведущему звену ;

– реакции шарнирных опор.

Рис. 8

На механизм действует произвольная плоская система сил, для которой можно записать не более трех условий равновесия. Неизвестных сил, действующих на механизм семь: .

Расчленим плоский шарнирный механизм по шарнирам на отдельные звенья и изобразим реакции внешних и внутренних связей каждого звена и рассмотрим равновесие всех звеньев (рис. 9).

Рис. 9

На кривошип действуют внешние силы , пара сил с моментом , а также реакция шарнира - .

На шатун кроме силы тяжести действуют реакции, .

На кривошип действуют силы и внутренние реакции .

На шатун кроме силы тяжести действуют реакции .

На кривошип действуют силы и внутренние реакции .

Таким образом, на звенья механизма действует пятнадцать неизвестных сил: пара сил , а также реакции внешних и внутренних связей и

Звенья механизма находятся в равновесии под действием произвольных плоских систем сил. Для каждого звена запишем следующие условия равновесия:

Каждое из условий, обеспечивающее равенства нулю главного вектора системы сил , на плоскости эквивалентно двум уравнениям равновесия, а условия равновесия моментов , на плоскости эквивалентно одному уравнению равновесия. Таким образом, условиям равновесия в векторной форме соответствуют 15 линейным алгебраических уравнений равновесия с 15-ю неизвестными, и задача является статически определимой.

Составляя уравнения равновесия, в векторной форме получим:

Здесь, - радиус-векторы, определяющие положение соответствующих точек механизма на плоскости.

Ориентация векторов на плоскости задается с помощью углов и , которые можно определить с помощью уравнений геометрических связей, записанных для узловых точек плоского механизма.

Составим с помощью пакета MathCAD уравнения равновесия в символьном виде.

Задание векторов, определяющих положение точек приложения сил:

Формирование векторов активных сил:

Формирование векторов неизвестных сил и реакций связей:

Вычисление главных векторов и главных моментов внешних сил, действующих на звенья плоского механизма.

Кривошип :

Шатун :

Кривошип :

Шатун :

Кривошип :

Формирование уравнений равновесия:

Решение полученной системы уравнений может быть найдено в MathCAD с помощью блока решений Given-Find. Однако, наиболее эффективным способом решения и анализа результатов вычислений систем линейных алгебраических уравнений является матричный метод. Для его применения представим уравнения равновесия в матричной форме:

где – матрица коэффициентов при неизвестных величинах, – вектор неизвестных, – вектор правой части (известных слагаемых в уравнениях равновесия) системы алгебраических уравнений.

Этому уравнению соответствует решение вида .

При этом определитель матрицы не должен быть равен нулю

.

Уравнения равновесия для других вариантов приложения уравновешивающих сил составляются аналогично.

Теперь выполним численный расчет.

Введем исходные данные:

Вычисление вспомогательных функций и решение уравнений геометрической связи:

Решение системы уравнений:

Формирование реакций внешних и внутренних связей:

Построение графиков функций.

Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма, от угла поворота ведущего звена:

Зависимость реакций внешних и внутренних связей от угла поворота ведущего звена:

Расчет плоского механизма при действии момента , приложенного к звену

Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма, от угла поворота ведущего звена:

Расчет плоского механизма при действии момента , приложенного к звену

Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма, от угла поворота ведущего звена: