Общий ориентир: в похожих случаях за нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.

Прерываем решение и проводим замену

В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от  , теперь осталось выяснить, во что превратится  . Для этого находим дифференциал  :

Или, если короче:  Из полученного равенства по правилу пропорции выражаем нужное нам выражение:

Итак: Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от   и можно продолжать решение

Готово. Напоминаю, что цель замены – упростить подынтегральное выражение, в данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

Я не случайно так подробно расписал этот пример, это сделано в целях повторения и закрепления материалов урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

 А сейчас два примера для самостоятельного решения:

Пример 12

Найти неопределенный интеграл.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл.

Полные решения и ответы в конце урока.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что же обозначать за  , синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за   другую функцию, но есть:

Общий ориентир: за   нужно обозначить ту функция, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе. 

Поэтому проведем замену:

Если у кого остались трудности с алгоритмом замены переменной и нахождением дифференциала  , то следует вернуться к уроку Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл.

Анализируем подынтегральную функцию, что нужно обозначить за  ? Вспоминаем наши ориентиры: 1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе; 2) Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена  . В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с  ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

 мы резервируем под наш «будущий» дифференциал 

А   выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

Вот теперь замена: 

Готово.

Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за   – обозначить другую функцию. Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы.

В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за   обозначили синус.

Пример 16

Найти неопределенный интеграл.

Степени идут на взлёт =). Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.