- •Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •! В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами
- •Метод замены переменной
- •Общий ориентир: в похожих случаях за нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
Понижение степени подынтегральной функции
Данный приём работает, когда подынтегральные функции нафаршированы синусами и косинусами в чётных степенях. Для понижения степени используют тригонометрические формулы , и , причем последняя формула чаще используется в обратном направлении: .
Пример 7
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
В принципе, ничего нового здесь нет, за исключением того, что мы применили формулу (понизив степень подынтегральной функции). Обратите внимание, что я сократил решение. По мере накопления опыта интеграл от можно находить устно, это экономит время и вполне допустимо при чистовом оформлении заданий. В данном случае целесообразно не расписывать и правило , сначала устно берем интеграл от 1, затем – от .
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Таки обещанное повышение степени:
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Сначала решение, потом комментарии:
(1) Готовим подынтегральную функцию для применения формулы .
(2) Собственно применяем формулу.
(3) Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но, на мой взгляд, так удобнее.
(4) Используем формулу
(5) В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы .
(6) Приводим подобные слагаемые (здесь я почленно разделил и выполнил сложение ).
(7) Собственно берём интеграл, правило линейности и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.
(8) Причесываем ответ.
! В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами
В только что рассмотренном примере окончательный ответ можно было записать иначе – раскрыть скобки и даже это сделать еще до интегрирования выражения, то есть вполне допустима следующая концовка примера:
Вполне возможно, что такой вариант даже удобнее, просто я объяснил так, как сам привык решать). Вот еще один характерный пример для самостоятельного решения:
Пример 10
Найти неопределенный интеграл.
Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться два совершенно разных ответа (точнее говоря, они будут выглядеть совершенно по-разному, а с математической точки зрения являться эквивалентными). Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока.
Подытоживая
параграф, сделаем вывод: любой интеграл
вида
,
где
и
– чётные числа,
решается методом понижения степени
подынтегральной функции.
На практике
мне встречались интегралы с 8 и 10
степенями, решать их ужасный
геморприходилось,
понижая степень несколько раз, в
результате чего получались длинные-длинные
ответы.
Метод замены переменной
Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная : (функции , не обязательно находятся в произведении)
Пример 11
Найти неопределенный интеграл.
Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за – синус или косинус?! Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится.