Примеры выполнения заданий работы
Задание 1. Округлить заданное число до сотых и найти абсолютную и относительную погрешности округления.
2,356481
Решение:
а = 2,356481, а* = 2,36,
Δа*
= ׀2,356481
– 2,36׀
= 0,003519
0,01
а = 2,36 ± 0,01
δа*
=
0,002, или δа*
= 0,2 %
Задание 2. Произвести указанные действия и определить абсолютную и относительную погрешности (исходные числа заданы верными цифрами)
а) 23,15 + 2,6 = 25,75
Δ
= 0,01 + 0,1 = 0,11
0,2;
0,05
б) 2,5 ∙ 0,231 = 0,5775
Δ
= 2,5∙ 0,001 + 0,231∙ 0,1= 0,0256
0,03;
0,05
в) 5,23 : 1,3 4,023077
0,4;
0,08
Задание3. Вычислить и оценить результат:
а) 7,123 + 6,25 + 5,2366 = 18,6096
Δ = 0,001 + 0,01 + 0,0001 = 0,0111 0,02, тогда результат можно записать в виде: 18,61 ± 0,02
б) (125,678 – 12,26) · 5,2
1 способ (оценивание итогового результата )
(125,678 – 12,26) · 5,2 = 589,7736
Совмещая
формулы для вычисления абсолютной
погрешности разности и произведения,
получим
=
11,399
12
тогда результат можно записать в виде: 590 ± 12
2 способ (поэтапное оценивание)
(125,678 – 12,26) · 5,2
1) 125,678 – 12,26 = 113,418
Δ = 0,001 + 0,01= 0,011 0,02, тогда итог вычитания 113,42 ± 0,02
2) 113,42 · 5,2 = 589,784
Δ = 113,42 ∙ 0,1 + 5,2 ∙ 0,01 = 11,394 12,
тогда результат можно записать в виде: 590 ± 12
Задание 4. Исходное числовое значение аргумента задано верными цифрами. Произвести вычисления и оценить результат:
а) arcsin 0,58 = 0,61872869
Δ=
= 0,01227
0,02,
тогда результат можно записать в виде: 0,62 ± 0,02.
б) 6,32,6 = 119,7527316
Δ=
6,32,6(2,6∙
+ ׀ln
6,3׀∙0,1)
27
тогда результат можно записать в виде: 120 ± 27.
Контрольные вопросы.
1. Что такое абсолютная погрешность приближенного значения величины?
2. Что такое относительная погрешность приближенного значения величины?
3. Какие цифры в записи приближенного числа называются верными, а какие значащими?
4. Как производится округление числа?
5. Каким образом можно оценить результат вычислений?
6. Каковы способы представления чисел в ЭВМ?
§3. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений
3.1 Задача решения алгебраических и трансцендентных уравнений
Пусть имеется
нелинейное уравнение f(x)=0.
Корнем данного уравнения называется
значение
,
при котором
.
Решение уравнения заключается в
нахождение его корней.
Корень
называется
простым,
если
.
Корень называется
кратным,
если
.
Целое число m
называется кратностью корня
,
если
для k=1,2,3...(m-1),
а
.
Случай k=1
соответствует простому корню.
Р
ассмотрим
график некоторой функции y=f(x)
(x[a,b]),
который представлен на рис.3.1. Из
определения следует, что корень является
простым, если график функции y=f(x)
пересекает ось 0x
в точке
под yглом
0
,
и кратным, если он касается оси 0x
в точке
,
т.к. имеем =0.
Все методы решения нелинейных уравнений можно разделить на аналитические, графические и численные. Аналитическими методами удается воспользоваться только для уравнений определенного вида, в общем случае они не применимы. Графические методы естественно обладают большой погрешностью. Поэтому основными являются численные методы.
Численное решение задачи нахождения корней нелинейного уравнения проводится в два этапа: этапа локализации корней и этапа итерационного уточнения корней.
Локализация (отделение) корней – установление количества корней и промежутков, каждый из которых содержит только один корень;
уточнение корней – нахождение значения корней с заданной точностью.