Примеры выполнения заданий работы

Задание 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решите систему методом Гаусса, используя схему единственного деления; расчеты выполняйте с тремя знаками после запятой; подставьте найденные решения в исходную систему, вычислите невязки и сделайте вывод о полученном решении.

Решение:

Расчеты будем производить с использованием расчетной таблицы:

Таблица 4.1

раздел	х1	х2	х3	свободные члены	S1	S2
А	2,34 8,04 3,92	– 4,21 5,22 – 7,49	–11,61 0,27 8,37	14,41 6,44 55,56	0,93 7,09 59,86
	1	– 1,799	– 4,962	6,158	0,397	0,397
А1		19,685 – 0,938	40,161 27,819	– 55,951 31,420	3,895 58,302	3,894 58,302
		1	2,040	– 2,842	0,198	0,198
А2			29,732	28,756	58,488	58,487
			1	0,967	1,967
В	1	1	1	0,967 – 4,816 2,293	1,967 – 3,816 3,293

Раздел А – из заданной системы коэффициенты и свободные члены.

Для исключения случайных ошибок предусматривается контроль правильности вычислений, с этой целью в таблицу включаются столбец контрольных сумм S₁ и столбец строчных сумм S_2. Числа в этих столбцах должны практически совпадать.

Значения в разделе А в столбце S₁ получаются как сумма чисел в строке.

Строка под разделом А получается путем деления 1-й строчки раздела А на соответствующий коэффициент х₁, т.е. на 2,34.

Значение в столбике S₁ получается путем тех же преобразований, что и в строчке (аналогично весь столбик S₁). Значения в столбике S₂ получаются как сумма чисел в строке левой части таблицы.

Раздел А₁. Значения первой строчки получаются путем преобразования второй строки раздела А: 19,685 = 5,22– 8,04∙ (– 1,799); 40,161= 0,27– 8,04∙ (– 4,962); – 55,951= 6,44– 8,04∙ 6,158. Значения второй строчки получаются путем аналогичных преобразований третьей строки раздела А

Раздел А₂ – аналогично.

Раздел В – обратный ход. Последняя строка прямого хода переносится, т.е.

х₃ = 0,967. Вторая строка раздела В получается из строчки под разделом А₁:

строчка под разделом А₁ записывается в виде уравнения х₂ + 2,040х₃ – 2,842 = 0, в него подставляется значение х₃ и выражается х₂. Аналогично находится х₁. Значения в столбике S₁ должны отличаться от значений неизвестных на 1

х₁ = 2,293; х₂ = – 4,816; х₃ = 0,967.

Если подставить найденные значения в систему:

тогда разности между правой и левой частями, называемые невязками, будут следующими:

ε₁ = 14,41– 14,411= – 0,001;

ε₂ = – 6,44 – (– 6,441) = 0,001;

ε₃ = 55,56 – 55,561 = 0,001.