Робота 3.1. Вивчення фізичного маятника Теоретична довідка

Фізичним маятником називають будь-яке тверде тіло, яке може вільно коливатись навколо горизонтальної осі під дією сили тяжіння. Рух такoго маятника описується рівнянням:

(1)

Рис. 3.2

де J — момент інерції маятника,  — кут відхилення центра ваги маятника від поло­ження рівноваги, M — момент сил, що діють на маятник, t — час (рис.3.2). Наприклад, для однорідного стержня дов­жи­ною l за теоремою Гюйгенса-Штейнера мо­мент інерції маят­ника дорівнює

,

де m — маса маятника, s — відстань між центром мас та віссю обер­тання,

Момент сили тяжіння, що діє на маят­ник знаходиться за формулою

M = -smg sin ,

Якщо кут  ма­лий, тоді sin , і

Добре налагоджений маятник може зробити кілька сот коливань без помітного згасання, тому моментом сили тертя в першому наближенні можна знехтувати. Підставляючи вираз для M в (1), легко отримати рівняння для коливань

(2)

з частотою

.

(3)

Рівняння (2) описує гармонічні коливання, що відбуваються за законом (t) = A sin(t + ). Амплітуда коливань A та їх фаза  залежать від способу збудження коливань, тобто від початкових умов. Щодо власної частоти коли­вань , то згідно з (3), вона визначається тільки параметрами маятника J та s.

Період коливань фізичного маятника T = 2/, як і частота, не за­ле­жить від фази та амплітуди коливань і дорівнює

.

(4)

Рух маятника описується рівнянням гармонічних коливань (2) лише за умови малих амплітуд, а саме, <<1. Слушність такого припущення можна перевірити експериментально, впевнившись у незалежності періоду коли­вань від амплітуди.

Якщо ввести позначення

(5)

то формула (4) буде мати такий самий вигляд, як і формула для періоду коливань математичного маятника з довжиною L:

.

(6)

Тому величину L називають зведеною довжиною фізичного маятника. Точку О', що відстоїть від точки опори О на відстань L, називають центром гойдання фізичного маятника. Точка опори та центр гойдання маятника взаємооборотні, тобто при гойданні маятника навколо точки О' період коливань повинен бути таким самим, як і підчас гойдання навколо точки О. Пропонуємо довести цей факт самостійно.

Література

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — М.: Наука, 1979, п.п. 30, 33, 35, 36, 40, 41.

2. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975, гл. VII, п.п. 52, 59; гл. XIV, п. 124.

Поміркуйте

1. Навіщо раніше годинники робили з маятником? Яку роль відігравав маят­ник і як у сучасних годинниках обходяться без нього?

2. Чому кулі із зміщеним центром мас вважаються небезпечнішими за зви­чайні?

Мета: Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника.

Устаткування:

фізичний маятник (однорідний сталевий стержень з парою вантажів та призм); штатив для підвісу маятника; математичний маятник; лічильник коливань; секундомір; масштабна лінійка.

Теоретичні основи експерименту

В даній роботі використовується один з методів знаходження при­ско­рення вільного падіння за допомогою визначення періоду вільних коливань фізичного маятника за формулами (4), (6).

Тут J — момент інерції маятника відносно осі гойдання, m — його маса, s — відстань від центра мас до осі обертання, L — зведена довжина фізичного маятника.

Масу маятника та його період можливо визначити з досить високою точністю. Але зробити це для моменту інерції досить важко. Уникнути цих труднощів допомагає метод оборотного маятника. В ньому замість величини J міряють зведену довжину маятника (5).

Цей метод заснований на тому факті, що період коливань фізичного маятника не зміниться, якщо перечепити його так, що новою точкою підвісу стає колишній центр гойдання. Ця точка знаходиться якраз на відстані, рівній зведеній довжині фізичного маятника від осі гойдання та на одній прямій з віссю гойдання і центром мас.

Рис. 3.3

Оборотний маятник, що застосований у цій роботі, складається із сталевого стержня на якому закріплено два вантажа В₁ і В₂, кожен масою m, та дві опорні призми П₁ та П₂ (рис. 3.3).

Припустимо, що нам вдалося знайти таке поло­ження вантажів, за якого періоди коливань маятника Т₁ та Т₂ навколо призм П₁ та П₂ співпадають, тобто

(7)

Ця рівність можлива за умови рівності зведених довжин L₁ та L₂. З іншого боку, за теоремою Гюйгенса-Штейнера

(8)

де J₀ — момент інерції маятника відносно осі, що прохо­дить крізь центр мас паралельно до осі гойдання. Ви­клю­чивши з (7), (8) J₀ та m, та використовуючи (4) знахо­ди­мо, що

.

(9)

Таким чином, L = s₁ + s₂. Завважте, що формулу (9) виведено із формул (7), (8) за умови s₁  s_2, інакше формули (7) та (8) задовільняються тотожньо.

Виводячи формулу (9), ми нехтували різницею між періодами Т₁ та Т₂. Насправді домогтися точного співпадання періодів неможливо. В цьому ви­падку

,

(10)

звідки маємо

,

та для g отримуємо

,

(11)

де введено період

(12)

Проаналізуємо межі застосування нашої теорії. Для цього розглянемо похибку

визначення T₀, яка сама залежить від похибок вимірювання періодів та згідно

.

(13)

При непоганому обладнанні, коли маємо

(14)

Завважте, що при похибка значно зростає і це відбивається на точності визначення g. Тому значення не повинні бути дуже близькими. З іншого боку, якщо ці величини дуже відрізняються, то, період коливань істотно збільшується, отже, збільшується час спостерігання і, відповідно роль сил тертя. Таким чином, під час виконання експерименту треба слідкувати за тим, щоб ­від­но­шен­ня s₁/s₂ було не дуже великим і не дуже малим, рекомендований інтервал співвідношень

1,5 < s1/s2 < 3.

(15)